PROSTE RÓWNANIA LOGARYTMICZNE
Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie,
w którym niewiadoma wystepuje w wyrażeniu logarytmowanym lub
w podstawie logarytmu.
Przykłady równań logarytmicznych:
- log 4 x = -3
- log x+2 9 = 2
- log (2x + 7)=log (3 - 2x)
- log 2 (2x - 5) - log 2 (x+7) = log 2 5
Nie jest równaniem logarytmicznym równanie log (2x + 5)= 2x.
UWAGA !!!
Przed rozwiązaniem równania należy wyznaczyć jego dziedzinę
Przykład
Rozwiąż równania:
- log 2 x = 4
- log 0,5 (3 - 2 x)= -1
Rozwiązanie przykładu a
Dziedziną równania log 2 x = 4 są liczby rzeczywiste dodatnie.
Rozwiązując równanie logarytmiczne należy doprowadzić obie strony równania do równości logarytmów
o tych samych podstawach a następnie korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej,
stosujemy własnosci logarytmów.
Doprowadzamy liczbę 4 do logarytmu o podstawie 2 korzystając z definicji logarytmu
4 = log 2 16.
Równanie przybierze postać:
log 2 x = log 2 16.
Porównujemy liczby logarytmowane:
x=16.
Ponieważ liczba 16 nalezy do dziedziny równania logarytmicznego, więc jest jego rozwiązaniem.
Rozwiązanie przykładu b
Wyznaczamy dziedzinę równania:
log 0,5 (3 - 2 x)= -1 .
3 - 2x > 0
- 2x > - 3
x < 1,5 .
Korzystając z definicji logarytmu zamieniamy liczbę -1 na logarytm o podstawie 0,5
-1 = log 0,5 2 i podstawiamy do równania .Otrzymujemy:
log 0,5 (3 - 2 x)= log 0,5 2 .
Porównujemy liczby logarytmowane:
3 - 2x = 2
- 2x = - 1
x= 0,5 .
Liczba 0,5 należy do dziedziny równania, więc jest jego rozwiązaniem.
A teraz sprawdź swoje umiejętności
Rozwiąż równania logarytmiczne
Przykład 1
log 0,6 (-2 x 2 - x + 1) = 0
sprawdź wynik
Przykład 2
log (4 - 0,5 x) = 1
sprawdź wynik
Następnym etapem jest umiejętność rozwiązywania
prostych nierówności logarytmicznych.