Czy
wiesz , że .........
logarytmowanie jest
działaniem odwrotnym do potęgowania?
Logarytmowanie polega na
obliczaniu wykładnika potęgi, gdy znamy wartość
potęgi i podstawę
potęgi
jeśli 5 c = 125 ,
to c = log 5
125
Logarytmem liczby dodatniej b
przy podstawie aÎR+\{1} nazywamy
wykładnik potęgi c do której należy podnieść a , aby otrzymać
b.
Powyższą definicję można zapisać
symbolicznie:
log
a b = c
Û a c
= b ,
a>0 , a¹1 ,
b>0
PRZYKŁADY:
log 2 16 = 4
bo 2 4 = 16
log 0,5 4 = -2
bo (0,5) –2 = 4
log 100 10 =0,5
bo 100 ½ = 10
log 7 1 = 0
bo 7 0 =
1
log 2 0,25 = -2
bo 2 –2 =
0,25
log 0,3 0,09 = 2
bo (0,3) 2 = 0,09
Własności
logarytmów:
·
log a
(x × y) = log
a x + log a
y , jeśli x
> 0 i y > 0 i a > 0 i a ¹1.
Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów
poszczególnych
czynników tego iloczynu przy tej samej podstawie.
np.: log 6
2 + log 6 18 = log 6 (2×18) = log 6
36 = 2
·
log a (x : y ) = log a
x – log a y , jeśli x > 0 i y > 0 i a > 0 i a
¹1.
Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i
dzielnika
przy
tej samej podstawie.
np.: log 5
50 – log 5 2 = log 5
(50 : 2) = log 5
25 =2
·
log a
x k = k× log a
x , jeśli x > 0 i a > 0
i a ¹1 i
kÎR.
Logarytm potęgi o podstawie dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika
potęgi
i logarytmu podstawy tej potęgi.
np.: log 2 32 =
log 2 2 5 =
5× log
2 2 = 5×1=5
·
log a
b = log c b : log c a , jeśli a > 0 i a ¹1 i b > 0 i c
> 0 i c ¹1.
Powyższa
równość jest wzorem na zmianę
podstawy logarytmu.
np.: log 9
5 ×log 25
27 = ( log 3 5 : log 3 9 ) × ( log 3
27 : log 3 25 ) =
= [ (
log 3
5 ) : 2 ] × [ 3 : log 3 25 ] =
= 0,5 × log 3
5 × 3 : (log 3
5 2 )
=
=
0,5 × 3 ×log 3
5 : (2 × log 3
5) =
= 1,5 : 2= 0,75
log 10
x = log x