PROSTE NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE



Nierównością logarytmiczną nazywamy taką nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Przykładami nierówności logarytmicznych są:

log 3 (x-5) > 1
2 log (5-x) (x2-3) < log (5-x)(7-x)
3 log 0,5 2 x-2 log 0,5 x + 1 >0
0,5 (log 0,3 (x-3) 2) < 2 log 0,3 (2x-1)

Nie jest nierównością logarytmiczną nierówność:

5x - 1 > log (x - 1) (2 x 2 - 3)

Rozwiązując nierówność logarytmiczną należy każdorazowo wyznaczyć dziedzinę tej nierówności a następnie należy doprowadzić obie strony nierówności do logarytmu o tej samej podstawie i wykorzystać monotoniczność funkcji logarytmicznej z zastosowaniem odpowiednich własności logarytmów.

Przykład

Rozwiąż nierówności:
  1. log 4 (2x+1) > 2
  2. log 0,25 (2x-6) < -2

Rozwiązanie przykładu a

log 4 (2x+1) > 2
Wyznaczamy dziedzinę:
2x+1 > 0
2x > -1
x > -0.5

Doprowadzamy liczbę 2 do logarytmu o podstawie 4 wykorzystując definicję logarytmu
i zapisując liczbę 2 jako log 4 16.
Otrzymujemy: log 4 (2x+1) > log 4 16
Ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie 4 jest rosnąca to porównujemy liczby logarytmowane nie zmieniając znaku nierównosci.

2x+1 > 16
2x > 15
x> 7,5
Uwzględniamy część wspólną rozwiązania nierówności i dziedziny , a zatem
rozwiązaniem nierowności logarytmicznej log 4 (2x+1) > 2 są
x> 7,5.

Rozwiązanie przykładu b

log 0,25 (2x-6) < -2
Wyznaczamy dziedzinę:
2x-6 > 0
2x >6
x>3.
Przedstawiamy liczbę -2 jako logarytm przy podstawie 0,25
-2=log 0,25 16.
Stąd:
log 0,25 (2x-6) < log 0,25 16.
Ponieważ podstawa logarytmu to 0,25,więc funkcja jest malejąca i porównując liczby logarytmowane
należy zmienić znak nierównosci na przeciwny.
Otrzymujemy:
2x-6 > 16
2x > 22
x > 11.
Uwzględniając część wspólną nierówności i dziedziny jako rozwiązanie mamy
x > 11.

A teraz sprawdź swoje umiejętności:

Rozwiąż nierówności:
Przykład 1
log 3 ( -x 2 + 2x) < 0
sprawdź wynik
Przykład 2
log 0,5 (4 + x 2) > -3
sprawdź wynik

Na zakończenie sprawdź swoje wiadomości rozwiązując test