Konstruowalność wielokątów foremnych

Cała księga IV "Elementów" Euklidesa poświęcona jest konstrukcjom wielokątów foremnych, a ostatnia, XIII księga - konstrukcjom i własnościom wielościanów foremnych. Zagadnienie konstruowania figur przy użyciu cyrkla i liniału (tzn. linijki bez podziałki) było ważne w starożytności. Konstrukcje służyły do klasyfikacji liczb niewymiernych (klasyfikacja Teajteta - Księga X "Elementów") i rozwiązywania równań (Księga II). Dla platoników (podobno zaliczał się do nich Euklides) były ważne z uwagi na kosmologiczne znaczenie wielościanów foremnych (w filozofii Platona). W "Elementach" Euklidesa znajdują się konstrukcje: trójkąta równobocznego (I.1), kwadratu (IV.6), pięciokąta foremnego (IV.11), sześciokąta foremnego (IV.15) i piętnastokąta foremnego (IV.16).

C.F. Gauss (w wieku 19 lat) wykazał, że n-kąt foremny można skonstruować wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie n na czynniki pierwsze każda nieparzysta liczba pierwsza występuje jeden raz i wszystkie nieparzyste dzielniki pierwsze liczby n są (różnymi) liczbami Fermata:

F_k = 2^2k + 1

Jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są F₀ = 2¹ + 1 = 3, F₁ = 2² + 1 = 5, F₂ = 2⁴ + 1 = 5, F₃ = 2⁸ + 1 = 17, F₄ = 2¹⁶ + 1 = 257 i F₅ = 2¹⁶ + 1 = 65537. Wszystkie liczby Fermata większe od F₅, które udało się zbadać, okazały się złożone, więc nie wiemy, czy istnieje jeszcze choć jedna liczba pierwsza Fermata.

Konstrukcję 17-tokąta foremnego podał Gauss w 1796 r. Prostą konstrukcję Richmonda można znaleźć w książce Coxetera (§2.1 str. 43). Konstrukcję 257-tokąta foremnego podali Richelot i Schwendenwein około 1898 roku. O. Hermes, strawiwszy 10 lat życia skonstruował 65537-kąt foremny i zdeponował rękopis w wielkiej skrzyni w Uniwersytecie w Getyndze. Skrzynię ponoć można zobaczyć i dziś - J. Littlewood w "A Mathematician's Miscellany" wspomina o tym (bez podania nazwiska) tak: "Jeden zbyt natrętny doktorant doprowadził swojego promotora do tego, że ów polecił mu: 'Niech pan idzie i opracuje konstrukcję wielokąta foremnego o 65 537 bokach'. Doktorant odszedł i wrócił po 20 latach z konstrukcją, która przechowywana jest w archiwach w Getyndze."

Oto co sam Gauss napisał o konstrukcjach wielokątów foremnych w swoich "Disquisitiones arithmaticae" (za: W. Więsław "Matematyka i jej historia", Opole 1997, str. 330-331) z komentarzami w nawiasach kwadratowych:

Rozdzial VII

O równaniach, od których zależy podział koła.

335. Wśród najbardziej błyskotliwych osiągnięć, o które wzbogaciła się matematyka dzięki pracom uczonych w ostatnich latach, wyjątkowo ważne miejsce zajmuje, bez wątpienia, teoria funkcji [wielomianów] związanych z kołem. (...) Mam na myśli teorię [wartości] funkcji trygonometrycznych, odpowiadających łukom, które są współmierne z danym okręgiem, lub też teorię wielokątów foremnych; niniejszy rozdział pokaże, jak niewielka jej część była do tej pory zbadana. Czytelnik może się dziwić, że badanie takie znalazło się w pracy, która na pierwszy rzut oka poświęcona jest zupełnie innym zagadnieniom [tzn. arytmetyce]; jednak dzieło to dobitnie samo pokaże, w jak bliskim związku z wyższą arytmetyką pozostają te pytania. (...) Badanie sprowadza się do prostszego przypadku, gdy liczba części, na które powinien być podzielony okrąg, jest pierwsza.

336. (...) Na przykład, poniżej zostanie udowodnione, że wielokąt o 17 bokach może być zbudowany geometrycznie; jednakże dla określenia wielokąta o 289 [=172] bokach nie można uniknąć równania stopnia 17. (...)

Teoria równania xⁿ - 1 = 0 (przy założeniu, że n jest liczbą pierwszą).

Jeśli odrzucić pierwiastek 1, to zbiór ($\Omega$) pozostałych pierwiastków zawarty jest w [zbiorze rozwiązań] równaniu X = x^n-1 + x^n-2 + x + 1 = 0.

339. (...) Funkcja [wielomian] X nie może być rozłożona na czynniki niższego stopnia, których wszystkie współczynniki są wymierne. (...)

341. Twierdzenie. Jeżeli funkcja [wielomian] X jest podzielna przez funkcję niższego stopnia

P = x^$\lambda$ + Ax^$\lambda$-1 + Bx^$\lambda$-2 + ... + Kx + L

to współczynniki A, B, C,..., L nie mogą być wszystkie równocześnie liczbami całkowitymi. (...)

Wskazuje się cel dalszych badań

342. Cel dalszych badań, którego wskazanie wydaje się pożyteczne, polega na tym, aby kolejno rozkładac X na coraz większą liczbę czynników, przytem tak, aby ich współczynniki były określone przy pomocy równań możliwie niskich stopni, dopóki nie dojdziemy w ten sposób do czynników pierwszych, tzn. do samych pierwiastków z $\Omega$. Pokażemy mianowicie, że jeżeli liczbę n - 1 rozłożyc jakimkolwiek sposobem na czynniki całkowite $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,..., (które można uważać za liczby pierwsze), to X można rozłożyc na a czynników stopnia ${\frac{{n-1}}{{\alpha}}}$ których współczynniki określone są równaniami stopnia $\alpha$; nastepnie, te pojedyncze czynniki mogą być rozłożone na $\beta$ czynników stopnia ${\frac{{n-1}}{{\alpha \beta}}}$ przy pomocy równań stopnia $\beta$, itd., tak, że jeśli n oznacza liczbę czynników $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,..., to znalezienie pierwiastków z $\Omega$ sprowadza się do rozwiązania n równań stopnia $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,... itd. Na przykład, dla n = 17, gdzie n - 1 = 2 ^. 2 ^. 2 ^. 2 należy rozwiązać cztery równania kwadratowe, dla n = 73 - trzy równania kwadratowe i dwa równania sześcienne. (...)

Więcej o rozwiniętej przez Gaussa arytmetyce ciał cyklotomicznych Q($\Omega$) i pierścieni Z[$\Omega$] można przeczytać w książce H.M. Edwardsa "Fermat's last theorem", 4.5.