Konstrukcja pięciokąta foremnego

Żródło: H.S.M Coxeter "Wstęp do geometrii dawnej i nowej", PWN Warszawa 1967, §2.1, str. 42-43.

Najstarsza znana konstrukcja pięciokąta foremnego przedstawiona jest w księdze IV "Elementów" Euklidesa. Mianowicie IV.11 podaje metodę konstrukcji trójkąta równoramiennego, który ma kąty przy podstawie dwukrotnie większe od pozostałego kąta (tzn. trójkąta z kątami 72°, 72°, 36°), a kąt środkowy 72° wyznacza podział kąta pełnego na pięć równych części, czyli pięciokąt foremny. Oto konstrukcja Euklidesa (za A. Aaboe "Matematyka w starożytności", PWN Warszwa 1968, str. 75-77): Dany jest odcinek AB, który będzie ramieniem konstruowanego trójkąta. Konstruujemy punkt C na odcinku AB tak, zeby AB ^. CB = AC² (jak to zrobic opisuje twierdzenie II.11). Następnie kreślimy okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB i odkładamy odcinek równy AC jako cięciwę BD. Wykreślamy odcinki AD i CD. Trójkąt ABD jest równoramienny, więc ma równe kąty przy podstawie:

$$\angle$$ABD = $$\angle$$BDC + $$\angle$$CDA.

Okazuje się, że $\angle$ABD = 2 ^. $\angle$BAD, czego dowód (wykorzystujący twierdzenia III.37 i III.32) kończy konstrukcję. Księga IV.11 zawiera jeszcze rysunek, przedstawiający okrąg opisany na trójkącie ABD, z odłożonymi z punktów B i D cięciwami o długości równej długości AD i odcinkami, łączącymi kolejno pięć wyznaczonych w ten sposób punktów okręgu. Prostszą konstrukcję (zamieszczana zwykle w podręcznikach) podał Ptolomeusz. W XIX w. opracowano szereg konstrukcji, z których przytoczymy konstrukcję H. W. Richmonda z 1893 r. W okręgu o promieniu OP₀ rysujemy promień OB prostopadły do OP₀ i jego środek D. Punkt N jest punktem przecięcia promienia OP₀ i dwusiecznej kąta ODP₀. Z punktu N prowadzimy prostopadłą do OP₀; jej punkty przecięcia P₁, P₅ z okręgiem są dwoma wierzchołkami pięciokąta foremnego, sąsiadującymi z P₀.

Dwie konstrukcje z XVIII w. i jedną z XIX w. można znaleźć w "Śladami Pitagorasa" Szczepana Jeleńskiego, rozdział "Wielkie i małe problemy historyczne", §9 (wyd. VI PZWS Waszawa 1966 str. 258-259).