Powierzchnie brył obrotowych

W tym paragrafie zajmiemy się wyznaczeniem powierzchni bryły obrotowej (tj. powstałej przez obrót pewnej krzywej dookoła danej osi) w sposób odpowiadający naszej intuicji. Zacznijmy od prostych przykładów. Powierzchnia boczna A walca o promieniu r i wysokości h daje się obliczyć ze wzoru A = 2$\pi$rh, możemy bowiem wyobrazić sobie, że celem jej obliczenia "rozcinamy" walec i rozwijamy go jako prostokąt.

W podobny sposób możemy poradzić sobie z powierzchniami bocznymi stożków; przecinając stożek o promieniu podstawy r i pobocznicy l wzdłuż jednej z pobocznic, otrzymujemy po rozwinięciu pewien wycinek kołowy. Wiemy, że pole powierzchni wycinka kołowego o kącie środkowym $\theta$ = 2$\pi$r/l wyraża się (jako procent powierzchni koła) wzorem ${\frac{{1}}{{2}}}$l²$\theta$, tak więc otrzymujemy

A = $${\frac{{1}}{{2}}}$$l²$$\theta$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$l²($${\frac{{2\pi r}}{{l}}}$$) = $$\pi$$rl.

Wiemy zatem w jaki sposób obliczać pola powierzchni brył obrotowych powstałych przez obroty odcinka wokół linii przechodzącej przez jeden z jego końców lub wokół linii do niego równoległej. W dalszym ciągu będziemy chcieli powtórzyć metodę użytą przy obliczaniu długości krzywej: spróbujemy aproksymować krzywą łamaną, a następnie powierzchnię obrotową inną powierzchnią, powstałą przez obrót aproksymującej łamanej. Każdy segment aproksymującej łamanej da po obrocie pewną wstęgę, której powierzchnię będziemy potrafili wyliczyć. W jaki sposób? Każda wstęga może być oczywiście rozpatrywana jako fragment pewnego stożka (lub walca).

Pole powierzchni takiej wstęgi o pobocznicy długości l, górnym promieniu r₁ i dolnym r₂ otrzymamy odejmując pola powierzchni bocznych dwóch stożków:

A = $$\pi$$r₂(l₁ + l )- $$\pi$$r₁l₁ = $$\pi$$[(r₂ - r₁)l₁ + r₂l].

Wobec twierdzenia o trójkątach podobnych

$${\frac{{l_1}}{{r_1}}}$$ = $${\frac{{l_1 + l}}{{r_2}}}$$

skąd otrzymujemy

r₂l₁ = r₁l₁ + r₁l

lub inaczej

(r₂ - r₁)l₁ = r₁l.

Podstawiając do otrzymanego wcześniej równania otrzymujemy

A = $$\pi$$(r₁l + r₂l )

lub

A = 2$$\pi$$rl

gdzie r = ${\frac{{1}}{{2}}}$(r₁ + r₂) jest uśrednionym promieniem rozpatrywanej wstęgi.

Otrzymany w ten sposób wzór zastosujemy do obliczenia pola powierzchni bryły według pomysłu opisanego powyżej. Rozważmy powierzchnię otrzymaną przez obrót krzywej y = f (x), a $\leq$ x $\leq$ b, wokół osi x, gdzie f jest funkcją o dodatnich wartościach i ciągłej pochodnej (w szczególności f jest ciągła). Podzielmy odcinek [a, b] na n podprzedziałów o końcach wyznaczonych przez punkty x₀, x₁,..., x_n i równej długości $\Delta$x, w sposób podobny jak przy wyznaczaniu długości krzywej. Jeśli oznaczymy y_i = f (x_i), to punkt P_i(x_i, y_i) leży na rozpatrywanej krzywej. Fragment powierzchni leżący między punktami x_i-1 oraz x_i możemy aproksymować biorąc odcinek P_i-1P_i i obracając go dookoła osi x.

Otrzymana w ten sposób wstęga będzie miała pobocznicę długości l = | P_i-1P_i| and uśredniony promień r = ${\frac{{1}}{{2}}}$(y_i-1 + y_i), tak więc pole jej powierzchni wyniesie

2$$\pi$$$${\frac{{y_{i-1} + y_i}}{{2}}}$$| P_i-1P_i|

Podobnie, jak postąpiliśmy w dowodzie poprzedniego twierdzenia w poprzednim paragrafie, obliczamy

| P_i-1P_i| = $$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$$$\Delta$$x,

gdzie x_i^* jest pewną liczbą z przedziału [x_i-1, x_i]. O ile $\Delta$x jest odpowiednio małe, otrzymujemy y_i = f (x_i) $\approx$ f (x_i^*) oraz y_i-1 = f (x_i-1) $\approx$ f (x_i^*), jako że f jest funkcją ciągłą. Tym samym

2$$\pi$$$${\frac{{y_{i-1} + y_i}}{{2}}}$$| P_i-1P_i| $$\approx$$ 2$$\pi$$f (x_i^*)$$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$$$\Delta$$x

a więc przybliżeniem wielkości, którą intuicyjnie rozpoznajemy jako pole powierzchni bryły obrotowej będzie:

$$\sum_{{i=1}}^{n}$$2$$\pi$$f (x_i^*)$$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$$$\Delta$$x.

Przybliżenie to będzie tym lepsze, im większe n weźmiemy. W powyższej sumie z łatwością rozpoznajemy sumę Riemanna funkcji g(x) = 2$\pi$f (x)$\sqrt{{1 + [f'(x)]^2}}$ i tym samym otrzymujemy wzór

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$2$$\pi$$f (x_i^*)$$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$$$\Delta$$x = $$\int_{a}^{b}$$2$$\pi$$f (x)$$\sqrt{{1 + [f'(x)]^2}}$$dx.

Zatem w przypadku, gdy fjest funkcją ciągła o ciągłej pochodnej, możemy zdefiniować pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej y = f (x), a $\leq$ x $\leq$ b, wokół osi x jako

S = $$\int_{a}^{b}$$2$$\pi$$f (x)$$\sqrt{{1 + [f'(x)]^2}}$$dx

Przykład: Krzywa y = $\sqrt{{4 - x^2}}$, -1 $\leq$ x $\leq$ 1, jest łukiem okręgu x² + y² = 4. Obliczyć pole powierzchni otrzymanej przez obrót tego łuku wokół osi x.

Obliczamy

$${\frac{{dy}}{{dx}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(4 - x²)^-1/2(- 2x) = $${\frac{{-x}}{{\sqrt{4 - x^2}}}}$$

tak więc wobec otrzymanych powyżej wzorów pole powierzchni wynosi

$$\int_{{-1}}^{1} \pi \sqrt{{1 + (\frac{dy}{dx})^2}}$$ S =

$$\pi \int_{{-1}}^{1} \sqrt{{4 - x^2}} \sqrt{{1 + \frac{x^2}{4-x^2}}}$$ =

$$\pi \int_{{-1}}^{1} \sqrt{{4 - x^2}} {\frac{{2}}{{\sqrt{4 - x^2}}}}$$ =

$$\pi \int_{{-1}}^{1} \pi \pi$$ =