Siła i ciśnienie hydrostatyczne

Rozważmy cienką, poziomą płytę o polu powierzchni A, która jest zanurzona w cieczy o gęstości $\rho$ kg/m³ na głębokości d metrów poniżej poziomu cieczy. Ciecz znajdująca się nad rozważaną płytą ma objętość V = Ad, a więc jej masa wynosi m = $\rho$V = $\rho$Ad. Siła wywierana przez ciecz na płytę wynosi zatem

F = mg = $$\rho$$gAd

gdzie g jest stałym przyspieszeniem grawitacyjnym. Ciśnienie wywierane przez ciecz na płytę definiujemy jako

P = $${\frac{{F}}{{A}}}$$ = $$\rho$$gd.

Jednostką ciśnienia jest paskal, 1Pa = ${\frac{{1 N}}{{1 m^2}}}$. Ważną właściwością ciśnienia (zaobserwowaną doświadczalnie) jest fakt, że w dowolnym punkcie ciśnienie wywierane przez ciecz jest takie samo, bez względu na kierunek. Wobec tego ciśnienie w każdym kierunku na głebokości d wywierane przez ciecz o gęstości $\rho$ wynosi

P = $$\rho$$gd.

Powyższa obserwacja pozwala nam obliczać ciśnienie działające na płyty zanurzone w cieczy w dowolny sposób - a więc niekoniecznie poziomo, ale też pionowo, ukoośnie itp.

Przykład: Tama ma kształt trapezu. Jej wysokość wynosi 20 m, szerokość u góry 50 m, a u podstawy 30 m. Obliczyć siłę, z jaką woda napiera na tamę, jeżeli woda utrzymuje się na poziomie 4 m poniżej szczytu tamy.

Dla ułatwienia obliczeń umieśćmy tamę w układzie współrzędnych, którego oś x ma kierunek pionowy, zwrot skierowany ku dołowi i początek na poziomie lustra wody.

Głebokość wody wynosi 16 m, podzielmy zatem przedział [0, 16] na n podprzedziałów o równych długościach $\Delta$x i o końcach wyznaczonych przez punkty x_i. Wybierzmy punkty próbkujące x_i^* $\in$ [x_i-1, x_i]. W ten sposób dzielimy powierzchnię tamy, na którą napiera woda na poziome paski, z których każdy może być przybliżony prostokątem o wysokości $\Delta$x i szerokości w_i. Rozpatrując odpowiednie trójkąty podobne dostajemy

$${\frac{{a}}{{16 - x_i^*}}}$$ = $${\frac{{10}}{{20}}}$$

lub inaczej

a = $${\frac{{16 - x_i^*}}{{2}}}$$ = 8 - $${\frac{{x_i^*}}{{2}}}$$

i wobec tego

w_i = 2(15 + a) = 2(15 + 8 - $${\frac{{1}}{{2}}}$$x_i^*) = 46 - x_i^*.

Jeśli zatem A_i oznacza pole i-tego paska, to możemy je przybliżyć według wzoru

A_i $$\approx$$ w_i$$\Delta$$x = (46 - x_i^*)$$\Delta$$x.

W przypadku, gdy $\Delta$x jest odpowiednio małe, możemy założyć, że ciśnienie wywierane na i-ty pasek jest stałe i wynosi

P_i $$\approx$$ 1000gx_i^*.

Siła działająca na i-ty pasek jest iloczynem ciśnienia i powierzchni:

F_i = P_iA_i $$\approx$$ 1000gx_i^*(46 - x_i^*)$$\Delta$$x.

Dodając do siebie wszystkie siły działające na wszystkie paski, a następnie zmierzając z n do nieskończoności (i tym samym biorąc coraz węższe paski) otrzymujemy wzór na całkowitą siłę działającą na tamę:

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \Delta$$ F =

$$\int_{0}^{{16}}$$ =

$$\int_{0}^{{16}}$$ =

$${\frac{{x^3}}{{3}}}$$ =

$$\approx$$ 4, 43 ^. 10⁷N