Długość krzywej

Co rozumiemy przez długość krzywej? W przypadku łamanej zamkniętej odpowiedź wydaje się stosunkowo prosta: długość takiej krzywej to suma długości składowych odcinków. W ogólnum przypadku definicja nieco się komplikuje. Będziemy starali się zdefiniować długości niektórych krzywych przbliżając dane krzywe łamanymi, a następnie przybliżając długość krzywej długością aproksymującej łamanej.

Niech C będzie łamaną opisaną równaniem y = f (x), gdzie f jest funkcją ciągła określoną dla a $\leq$ x $\leq$ b. Krzywą C przybliżamy za pomocą łamanej dzieląc przedział [a, b] na n podprzedziałów o końcach x₀, x₁,..., x_n i o równej długości $\Delta$x. Jeśli oznaczymy y_i = f (x_i), to punkt P_i(x_i, y_i) będzie leżał na krzywej C i łamana P₀, P₁,..., P_n będzie przybliżeniem krzywej C.

Długość L krzywej C będzie zatem w przybliżeniu równa długości łamanej i przybliżenie to będzie tym lepsze, im większe n uwzględnimy w naszych rozważaniach.

Wobec tego możemy zdefiniować długość L krzywej C o równaniu y = f (x), a $\leq$ x $\leq$ b jako wartość graniczną

L = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$| P_i-1P_i|.

Powyższy wzór nie jest oczywiście zbyt wygodny w obliczeniach, postaramy się więc go przekształcić tak, aby pozwalał na praktyczne obliczanie długości łuków. Aby było to możliwe, założymy dodatkowo, że y = f (x) jest krzywą gładką, to znaczy że y = f'(x) jest funkcją ciągłą (nazwa jest intuicyjnie jasna: mała zmiana argumentu x powoduje mała zmianę f'(x), czyli tangensa stycznej do krzywej w punkcie x).

Niech $\Delta$y_i = y_i - y_i-1. Wówczas

| P_i-1P_i| = $$\sqrt{{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2}}$$ = $$\sqrt{{(\Delta x)^2 + (\Delta y_i)^2}}$$.

Wobec twierdzenia o wartości średniej dla funkcji f na przedziale [x_i-1, x_i], możemy znaleźć liczbę x_i^* $\in$ [x_i-1, x_i] taką, że

f (x_i) - f (x_i-1) = f'(x_i^*)(x_i - x_i-1)

czyli inaczej

$$\Delta$$y_i = f'(x_i^*)$$\Delta$$x.

Otrzymujemy tym samym

$$\sqrt{{(\Delta x)^2 + (\Delta y_i)^2}}$$ | P_i-1P_i| =

$$\sqrt{{(\Delta x)^2 + [f'(x_i^*) \Delta x_i^*]^2}}$$ =

$$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}} \sqrt{{(\Delta x)^2}}$$ =

$$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}} \Delta$$ =

Tym samym długość L wyrazi się wzorem

L = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$| P_i-1P_i| = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$$$\sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$$$\Delta$$x.

Z łatwością zauważamy, że granica powyższa równa jest całce

L = $$\int_{a}^{b}$$$$\sqrt{{1 + [f'(x)]^2}}$$dx.

Wzór powyższy opisuje zatem długość krzywej gładkiej zadanej równaniem y = f (x), a $\leq$ x $\leq$ b.

Przykład: Wyznaczyć długość łuku paraboli semikubicznej y² = x³ pomiędzy punktami (1, 1) oraz (4, 8).

Łatwo przekonujemy się, że interesuje nas tylko ten fragment krzywej, dla której y jest dodatnie. Zatem

y = x^3/2

oraz

$${\frac{{dy}}{{dx}}}$$ = $${\frac{{3}}{{2}}}$$x^1/2

i tym samym wzór na długość łuku wyrazi się całką:

L = $$\int_{1}^{4}$$$$\sqrt{{1 + (\frac{dy}{dx})^2}}$$dx = $$\int_{1}^{4}$$$$\sqrt{{1 + \frac{9}{4}x}}$$dx.

Obliczenie stosownej całki nie przedstawia większego problemu; podstawienie u = 1 + 9x/4 daje du = 9dx/4. Gdy x = 1, u = ${\frac{{13}}{{4}}}$; gdy x = 4, u = 10. Zatem

$${\frac{{4}}{{9}}} \int_{{\frac{13}{4}}}^{{10}} \sqrt{{u}} {\frac{{4}}{{9}}} {\frac{{2}}{{3}}} {\frac{{13}}{{4}}}$$ L =

$${\frac{{8}}{{27}}} {\frac{{13}}{{4}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{27}}} \sqrt{{10}} \sqrt{{13}}$$ =