next up previous
Next: Powierzchnie brył obrotowych Up: Rachunek całkowy Previous: Praca

Długość krzywej

Co rozumiemy przez długość krzywej? W przypadku łamanej zamkniętej odpowiedź wydaje się stosunkowo prosta: długość takiej krzywej to suma długości składowych odcinków. W ogólnum przypadku definicja nieco się komplikuje. Będziemy starali się zdefiniować długości niektórych krzywych przbliżając dane krzywe łamanymi, a następnie przybliżając długość krzywej długością aproksymującej łamanej.

Niech C będzie łamaną opisaną równaniem y = f (x), gdzie f jest funkcją ciągła określoną dla a $ \leq$ x $ \leq$ b. Krzywą C przybliżamy za pomocą łamanej dzieląc przedział [a, b] na n podprzedziałów o końcach x0, x1,..., xn i o równej długości $ \Delta$x. Jeśli oznaczymy yi = f (xi), to punkt Pi(xi, yi) będzie leżał na krzywej C i łamana P0, P1,..., Pn będzie przybliżeniem krzywej C.

\includegraphics[width=12cm]{547-3.eps}

Długość L krzywej C będzie zatem w przybliżeniu równa długości łamanej i przybliżenie to będzie tym lepsze, im większe n uwzględnimy w naszych rozważaniach.

\includegraphics[width=12cm]{547-4.eps}

Wobec tego możemy zdefiniować długość L krzywej C o równaniu y = f (x), a $ \leq$ x $ \leq$ b jako wartość graniczną

L = $\displaystyle \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$\displaystyle \sum_{{i=1}}^{n}$| Pi-1Pi|.

Powyższy wzór nie jest oczywiście zbyt wygodny w obliczeniach, postaramy się więc go przekształcić tak, aby pozwalał na praktyczne obliczanie długości łuków. Aby było to możliwe, założymy dodatkowo, że y = f (x) jest krzywą gładką, to znaczy że y = f'(x) jest funkcją ciągłą (nazwa jest intuicyjnie jasna: mała zmiana argumentu x powoduje mała zmianę f'(x), czyli tangensa stycznej do krzywej w punkcie x).

Niech $ \Delta$yi = yi - yi-1. Wówczas

| Pi-1Pi| = $\displaystyle \sqrt{{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2}}$ = $\displaystyle \sqrt{{(\Delta x)^2 + (\Delta y_i)^2}}$.

Wobec twierdzenia o wartości średniej dla funkcji f na przedziale [xi-1, xi], możemy znaleźć liczbę xi* $ \in$ [xi-1, xi] taką, że

f (xi) - f (xi-1) = f'(xi*)(xi - xi-1)

czyli inaczej

$\displaystyle \Delta$yi = f'(xi*)$\displaystyle \Delta$x.

Otrzymujemy tym samym
| Pi-1Pi| = $\displaystyle \sqrt{{(\Delta x)^2 + (\Delta y_i)^2}}$ =  
  = $\displaystyle \sqrt{{(\Delta x)^2 + [f'(x_i^*) \Delta x_i^*]^2}}$ =  
  = $\displaystyle \sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$\displaystyle \sqrt{{(\Delta x)^2}}$ =  
  = $\displaystyle \sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$\displaystyle \Delta$x.  

Tym samym długość L wyrazi się wzorem

L = $\displaystyle \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$\displaystyle \sum_{{i=1}}^{n}$| Pi-1Pi| = $\displaystyle \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$\displaystyle \sum_{{i=1}}^{n}$$\displaystyle \sqrt{{1 + [f'(x_i^*)]^2}}$$\displaystyle \Delta$x.

Z łatwością zauważamy, że granica powyższa równa jest całce

L = $\displaystyle \int_{a}^{b}$$\displaystyle \sqrt{{1 + [f'(x)]^2}}$dx.

Wzór powyższy opisuje zatem długość krzywej gładkiej zadanej równaniem y = f (x), a $ \leq$ x $ \leq$ b.

Przykład: Wyznaczyć długość łuku paraboli semikubicznej y2 = x3 pomiędzy punktami (1, 1) oraz (4, 8).

Łatwo przekonujemy się, że interesuje nas tylko ten fragment krzywej, dla której y jest dodatnie. Zatem

y = x3/2

oraz

$\displaystyle {\frac{{dy}}{{dx}}}$ = $\displaystyle {\frac{{3}}{{2}}}$x1/2

i tym samym wzór na długość łuku wyrazi się całką:

L = $\displaystyle \int_{1}^{4}$$\displaystyle \sqrt{{1 + (\frac{dy}{dx})^2}}$dx = $\displaystyle \int_{1}^{4}$$\displaystyle \sqrt{{1 + \frac{9}{4}x}}$dx.

Obliczenie stosownej całki nie przedstawia większego problemu; podstawienie u = 1 + 9x/4 daje du = 9dx/4. Gdy x = 1, u = $ {\frac{{13}}{{4}}}$; gdy x = 4, u = 10. Zatem
L = $\displaystyle {\frac{{4}}{{9}}}$$\displaystyle \int_{{\frac{13}{4}}}^{{10}}$$\displaystyle \sqrt{{u}}$du = $\displaystyle {\frac{{4}}{{9}}}$ . $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$[u3/2]|$\scriptstyle {\frac{{13}}{{4}}}$10 =  
  = $\displaystyle {\frac{{8}}{{27}}}$[103/2 - ($\displaystyle {\frac{{13}}{{4}}}$)3/2] =  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{27}}}$(80$\displaystyle \sqrt{{10}}$ -13$\displaystyle \sqrt{{13}}$)  


next up previous
Next: Powierzchnie brył obrotowych Up: Rachunek całkowy Previous: Praca
Pawel Gladki 2006-01-30