Co rozumiemy przez długość krzywej? W przypadku łamanej zamkniętej odpowiedź wydaje się stosunkowo prosta: długość takiej krzywej to suma długości składowych odcinków. W ogólnum przypadku definicja nieco się komplikuje. Będziemy starali się zdefiniować długości niektórych krzywych przbliżając dane krzywe łamanymi, a następnie przybliżając długość krzywej długością aproksymującej łamanej.
Niech C będzie łamaną opisaną równaniem y = f (x), gdzie f jest funkcją ciągła określoną dla a x b. Krzywą C przybliżamy za pomocą łamanej dzieląc przedział [a, b] na n podprzedziałów o końcach x0, x1,..., xn i o równej długości x. Jeśli oznaczymy yi = f (xi), to punkt Pi(xi, yi) będzie leżał na krzywej C i łamana P0, P1,..., Pn będzie przybliżeniem krzywej C.
Długość L krzywej C będzie zatem w przybliżeniu równa długości łamanej i przybliżenie to będzie tym lepsze, im większe n uwzględnimy w naszych rozważaniach.
Wobec tego możemy zdefiniować długość L krzywej C o równaniu y = f (x), a x b jako wartość graniczną
Niech yi = yi - yi-1. Wówczas
| Pi-1Pi| | = | = | |
= | = | ||
= | = | ||
= | x. |
Przykład: Wyznaczyć długość łuku paraboli semikubicznej y2 = x3 pomiędzy punktami (1, 1) oraz (4, 8).
Łatwo przekonujemy się, że interesuje nas tylko ten fragment krzywej, dla której y jest dodatnie. Zatem
L | = | du = . [u3/2]|10 = | |
= | [103/2 - ()3/2] = | ||
= | (80 -13) |