Praca

W mowie potocznej przez termin "praca" rozumiemy ogół wysiłku potrzebny do wykonania określonego zadania. Odpowiada to w pewnym sensie fizycznemu terminowi "pracy", opartemy na definicji siły. Intuicyjnie możemy sobie wyobrazić, że do wykonania czynności takich jak przesunięcie książki na stole, podniesienie jakiegoś przedmiotu z podłogi (i przeciwdziałanie tym samym grawitacji) wymaga określonej siły. Ogólnie, gdy dany obiekt przesuwamy wzdłuż linii prostej opisanej równaniem s(t), to siła działająca na dany obiekt określona jest - w myśl II Zasady Dynamiki Newtona - za pomocą wzoru:

F = m$${\frac{{d^2 s}}{{dt^2}}}$$,

gdzie m oznacza masę danego obiektu. Ponieważ jednostką masy jest 1 kg, jednostką przesunięcia jest 1 m, a jednostką siły jest 1 N, więc siła 1 N działająca na ciało o masie 1 kg skutkuje przyspieszeniem 1 m/s². W przypadku, gdy przyspieszenie utrzymuje się na stałym poziomie, działająca na obiekt siła również będzie stała. W takiej sytuacji definiujemy pracę jako iloczyn siły i przesunięcia:

W = Fd.

Gdy siła mierzona jest w niutonach a przesunięcie w metrach, to za jednostkę pracy przyjmujemy niutonometry, lub inaczej dżule. Zatem przesuwając obiekt z siłą 1 N na odległość 1 m wykonujemy pracę 1 J; inaczej, praca 1 J to praca potrzebna do przesunięcia ciała o masie 1 kg na odległość 1 m z przyspieszeniem 1 m/s².

Powyższe równanie - znane ze szkoły podstawowej - opisuje sytuację, w której obiekt przemieszczany jest ze stałym przyspieszeniem; oczywiście o wiele ciekawszy jest przypadek, w którym przyspieszenie (a więc i siła na obiekt działająca) zmienia się w czasie. Przypuśćmy, że obiekt porusza się wzdłuż osi x w kierunku dodatnim począwsz od punktu x = a, a na punkcie x = b skończywszy. Załóżmy też, że w danym punkcie x na obiekt działa siła f (x), gdzie f jest pewną funkcją ciągłą. Podzielmy odcinek [a, b] na n podprzedziałów o równej długości $\Delta$x, których końce wyznaczają punkty x₀, x₁,..., x_n. Z każdego podprzedziału wybierzmy po jednym punkcie próbkującym x_i^* $\in$ [x_i-1, x_i]. Siła działająca na obiekt w tym punkcie wyniesie f (x_i^*). Gdy n będzie odpowiednio duże, wówczas długość $\Delta$x będzie stosnkowo mała i - ponieważ f jest funkcją ciągłą - wartości f nie zmieniają się aż tak bardzo na przedziale [x_i-1, x_i]. Możemy więc założyć, że na tak krótkim przedziale f jest prawie funkcją stałą. Wobec tego praca potrzebna na przesunięcie obiektu z punktu x_i-1 do x_i wyniesie w przybliżeniu

W_i $$\approx$$ f (x_i^*)$$\Delta$$x.

Wobec tego całkowita praca wykonana przy przesuwaniu obiektu z punktu a do punktu b równa jest w przybliżeniu

W $$\approx$$ $$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (x_i^*)$$\Delta$$x.

Jasne jest, że przybliżenie jest tym lepsze, im n jest większe. Wobec tego możemy zdefiniować pracę wykonaną przy przesuwaniu obiektu z a do b jako:

W = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (x_i^*)$$\Delta$$x = $$\int_{a}^{b}$$f (x)dx.

Przykład: Gdy cząsteczka znajduje się w odległości x od początku układu współrzędnych, siła działająca na nią opisuje się równaniem f (x) = x² + 2x. Jaka praca wykonywana jest podczas przemieszczenia się cząsteczki od punktu x = 1 do punktu x = 3?

Zgodnie z przeprowadzoną powyżej dyskusją:

W = $$\int_{1}^{3}$$x² +2xdx = [$${\frac{{x^3}}{{3}}}$$ + x²]|₁³ = $${\frac{{50}}{{3}}}$$.

Przykład: Aby rozciągnąc sprężynę ze stanu spoczynku, w którym jej długośc wynosi 10 cm, do długości 15 cm, potrzebna jest siła 40 N. Ile pracy potrzeba na dalsze rozciągnięcie sprężyny od 15 cm do 18 cm?

Zgodnie z prawem Hooke'a siła potrzebna do utrzymania rozciągniętej sprężyny na długości x jednostek od stanu spoczynku jest proporcjonalna do długości x:

F(x) = kx.

Współczynnik k zwany jest stałą sprężystości. Gdy rozciągniemy sprężynę ze stanu spoczynku 10 cm do długości 15 cm, różnica x wyniesie x = 5 = 0, 05 m. Oznacza to, że F(0, 05) = 40 N, a więc

0, 05k = 40,

skąd znajdujemy k = 800. Tym samym stała sprężystości rozważanej sprężyny wynosi 800 i równanie siły rozciągającej przybiera postać

F(x) = 800x.

Tym samym praca wykonana przy dalszym rozciąganiu sprężyny od 15 cm do 18 cm wynosić będzie

$$\int_{{0,05}}^{{0,08}} {\frac{{x^2}}{{2}}}$$ W =

= 400[(0, 08)² - (0, 05)²] = 1, 56J

Przykład: Zbiornik wody w kształcie odwróconego stożka o okrągłej podstawie promienia 4 m i wysokości 10 m wypełniony jest wodą do wysokości 8 m. Wyznaczyć pracę potrzebną do opróżnienia zbiornika, jeżeli pompa umieszczona jest na jego szczycie.

Poziom wody w zbiorniku podczas pompowania zmieniać się będzie od 2 m do 10 m.

Podzielmy zatem odcinek [2, 10] na n podprzedziałów, których końce wyznaczone są przez punkty x₀, x₁,..., x_n i wybierzmy punkty próbkujące x_i^*, po jednym z każdego podprzedziału. Tym samym podzieliliśmy wodę w zbiorniku na n warstw. Warstwa i może być przybliżona za pomocą walca o promieniu r_i i wysokości $\Delta$x. Wielkość r_i możemy łatwo obliczyć posługując się trójkątami podobnymi:

$${\frac{{r_i}}{{10 - x_i^*}}}$$ = $${\frac{{4}}{{10}}}$$,

skąd

r_i = $${\frac{{2}}{{5}}}$$(10 - x_i^*).

Wobec tego przybliżona objętość wody w i-tej warstwie równa się

V_i $$\approx$$ $$\pi$$r_i²$$\Delta$$x = $${\frac{{4 \pi}}{{25}}}$$(10 - x_i^*)²$$\Delta$$x

i ponieważ gęstość wody $\rho$ wynosi 1000 kg/m³, jej masa równa jest w przybliżeniu

m_i $$\approx$$ 1000$${\frac{{4 \pi}}{{25}}}$$(10 - x_i^*)²$$\Delta$$x = 160$$\pi$$(10 - x_i^*)²$$\Delta$$x.

Siła potrzebna na wypompowanie takiej warstwy wody musi przezwyciężyć siłę grawitacyjną, a więc równa jest

$$\approx \pi \Delta \approx$$ F_i =

$$\approx \pi \Delta$$

Każda warstwa wody musi zostać wypompowana na wysokość w przybliżeniu równą x_i^*. Tak więc praca W_i wykonana podczas pompowania wynosi w przybliżeniu

W_i $$\approx$$ F_ix_i^* $$\approx$$ 1570$$\pi$$x_i^*(10 - x_i^*)²$$\Delta$$x.

Aby obliczyć całkowitą pracę wykonaną podczas pompowania musimy dodać do siebie wszystkie prace wykonane przy pompowaniu kolejnych warstw, a następnie zwiększyć liczbę warstw występujących w obliczeniach, aby uczynić je bardziej dokładne. W ten sposób otrzymujemy następującą całkę do policzenia:

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \pi \Delta \int_{2}^{1} \pi$$ W =

$$\pi \int_{2}^{1} \pi {\frac{{20x^3}}{{3}}} {\frac{{x^4}}{{4}}}$$ =

$$\pi {\frac{{2048}}{{3}}} \approx$$ =