Objętości brył wyrażone poprzez pierścienie cylindryczne

Niektóre zadania polegające na znalezieniu objętości danej bryły moga okazać się bardzo trudne w przypadku, gdy będziemy próbowali rozwiązać je metodami podanymi w poprzednim paragrafie. Przykładowo, rozważmy bryłę powstałą przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi y = 2x² - x³ oraz y = 0 wokół osi y.

Cięcia prostopadłe do osi y dają w rezultacie pierścienie, chcąc jednak obliczyć promienie wewnętrzny i zewnętrzny danego pierścienia napotykamy na problem rozwiązania równania trzeciego stopnia y = 2x² - x³ dla niewiadomej x, gdzie y jest parametrem. Nie jest to możliwe do osiągnięcia gdy dysponujemy tylko środkami dostępnymi uczniom szkoły średniej.

W taki przypadkach pomocne może okazać się zdefiniowanie objętości za pomocą pierścieni cylindrycznych.

Chcąc obliczyć objętość V pierścienia cylindrycznego o promieniu wewnętrznym r₁ i zewnętrznym r₂ oraz wysokości h, odejmujemy objętość V₁ walca o wysokości h i promieniu r₁ od objętości V₂ walca o wysokości h i promieniu r₂:

V = V₂ - V₁ =

$$\pi \pi \pi$$ =

$$\pi$$ =

$$\pi {\frac{{r_2 + r_1}}{{2}}}$$ =

Jeśli oznaczymy przez $\Delta$r = r₂ - r₁ "grubość" pierścienia oraz przez r = ${\frac{{r_2 + r_1}}{{2}}}$ uśredniony promień pierścienia, to wzór powyższy zapisze się jako

V = 2$$\pi$$rh$$\Delta$$r.

Wzór ten łatwo zapamiętać jako

średni obwód × wysokość × grubość

Niech teraz S będzie bryłą powstałą przez obrót wokół osi y obszaru ograniczonego krzywymi y = f (x), gdzie f (x) $\geq$ 0 oraz y = 0, x = a i x = b dla b > a $\geq$ 0.

Dzielimy przedział [a, b] na n podprzedziałów I_i = [x_i-1, x_i] o równej długości $\Delta$x. Niech $\overline{{x}}_{i}^{}$ oznacza środek przedziału I_i. Jeżeli obrócimy prostokąt o podstawie I_i i wysokości f ($\overline{{x}}_{i}^{}$) wokół osi y, to w rezultacie otrzymamy pierścień cylindryczny o uśrednionym promieniu $\overline{{x}}_{i}^{}$, wysokości f ($\overline{{x}}_{i}^{}$) oraz grubości $\Delta$x.

Objętość tak otrzymanego pierścienia wyniesie zatem

V_i = (2$$\pi$$$$\overline{{x}}_{i}^{}$$)[f ($$\overline{{x}}_{i}^{}$$)]$$\Delta$$x

i dzięki temu będziemy mogli przybliżyć objętość bryły S sumując objętości aproksymujących pierścieni cylindrycznych:

V $$\approx$$ $$\sum_{{i=1}}^{n}$$V_i = $$\sum_{{i=1}}^{n}$$2$$\pi$$$$\overline{{x}}_{i}^{}$$f ($$\overline{{x}}_{i}^{}$$)$$\Delta$$x.

Przybliżenie takie jest tym lepsze, im więcej pierścieni rozpatrujemy, a więc im n jest większe. Ponieważ

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$2$$\pi$$$$\overline{{x}}_{i}^{}$$f ($$\overline{{x}}_{i}^{}$$)$$\Delta$$x = $$\int_{a}^{b}$$2$$\pi$$xf (x)dx

więc możemy przypuszczać, że objętość bryły S otrzymanej przez obrót wokół osi y obszaru pod krzywą y = f (x) w granicach od a do b wyniesie

V = $$\int_{a}^{b}$$2$$\pi$$xf (x)dx.

Faktycznie, można pokazać, że tak otrzymana objętość równa się objętości obliczonej w rozumieniu takim, jak podane w poprzednim paragrafie.

Przykład: Obliczyć objętość bryły S otrzymanej przez obrót wokół osi y obszaru ograniczonego krzywymi y = 2x² - x³ oraz y = 0.

Widzimy, że składowy pierścień cylindryczny użyty do obliczenia objętości ma w tym przypadku promień x, średni obwód 2$\pi$x i wysokość f (x) = 2x² - x³.

Wobec tego objętość obliczona za pomocą pierścieni cylindrycznych wynosi

$$\int_{0}^{2} \pi \pi \int_{0}^{2}$$ V =

$$\pi {\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{1}}{{5}}} \pi {\frac{{32}}{{5}}} {\frac{{16}}{{5}}} \pi$$ =

Używając metody pierścieni cylindrycznych możemy też obliczać objętości brył powstałych przez obroty wokół osi x. Czytelnik zechce samodzielnie przeanalizować taką sytuację.