Niektóre zadania polegające na znalezieniu objętości danej bryły moga okazać się bardzo trudne w przypadku, gdy będziemy próbowali rozwiązać je metodami podanymi w poprzednim paragrafie. Przykładowo, rozważmy bryłę powstałą przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi y = 2x2 - x3 oraz y = 0 wokół osi y.
Cięcia prostopadłe do osi y dają w rezultacie pierścienie, chcąc jednak obliczyć promienie wewnętrzny i zewnętrzny danego pierścienia napotykamy na problem rozwiązania równania trzeciego stopnia y = 2x2 - x3 dla niewiadomej x, gdzie y jest parametrem. Nie jest to możliwe do osiągnięcia gdy dysponujemy tylko środkami dostępnymi uczniom szkoły średniej.
W taki przypadkach pomocne może okazać się zdefiniowanie objętości za pomocą pierścieni cylindrycznych.
Chcąc obliczyć objętość V pierścienia cylindrycznego o promieniu wewnętrznym r1 i zewnętrznym r2
oraz wysokości h, odejmujemy objętość V1 walca o wysokości h i promieniu r1 od objętości V2
walca o wysokości h i promieniu r2:
V | = | V2 - V1 = | |
= | r22h - r12h = (r22 - r12)h = | ||
= | (r2 + r1)(r2 - r1)h = | ||
= | 2h(r2 - r1) |
Niech teraz S będzie bryłą powstałą przez obrót wokół osi y obszaru ograniczonego krzywymi y = f (x), gdzie f (x) 0 oraz y = 0, x = a i x = b dla b > a 0.
Dzielimy przedział [a, b] na n podprzedziałów Ii = [xi-1, xi] o równej długości x. Niech oznacza środek przedziału Ii. Jeżeli obrócimy prostokąt o podstawie Ii i wysokości f () wokół osi y, to w rezultacie otrzymamy pierścień cylindryczny o uśrednionym promieniu , wysokości f () oraz grubości x.
Objętość tak otrzymanego pierścienia wyniesie zatem
Przykład: Obliczyć objętość bryły S otrzymanej przez obrót wokół osi y obszaru ograniczonego krzywymi y = 2x2 - x3 oraz y = 0.
Widzimy, że składowy pierścień cylindryczny użyty do obliczenia objętości ma w tym przypadku promień x, średni obwód 2x i wysokość f (x) = 2x2 - x3.
Wobec tego objętość obliczona za pomocą pierścieni cylindrycznych wynosi
V | = | (2x)(2x2 - x3)dx = 2(2x3 - x4)dx = | |
= | 2[x4 - x5]|02 = 2(8 - ) = |
Używając metody pierścieni cylindrycznych możemy też obliczać objętości brył powstałych przez obroty wokół osi x. Czytelnik zechce samodzielnie przeanalizować taką sytuację.