Objętości brył

Chcąc zdefiniować objętość bryły napotykamy na ten sam problem, na jaki napotykaliśmy przy obliczaniu pola: potrafimy intuicyjnie zdefiniować objętośc, potrzebujemy wszakże podać ścisła definicję.

Zaczniemy od prostych przykładów dotyczących objętości walców. Każdy walec ograniczony jest wycinkiem płaszczyzny B₁ zwanym podstawą walca i odpowiadającym mu równoległym wycinkiem B₂. Walec składa się ze wszystkich punktów leżących na wszystkich odcinkach prostopadłych do B₁ i łączących B₁ z B₂.

Jeśli pole powierzchni podstawy walca wynosi A, a odległość między B₁ i B₂ (zwana wysokością walca) wynosi h, to objętość walca wyraża się wzorem

V = Ah.

Potrafimy zatem obliczać objętości walców. Chcąc obliczyć objętość bryły S, która nie jest walcem, postąpimy podobnie, jak w przypadku obliczania pól figur, które nie są prostokątami: podzielimy daną bryłę na "plasterki", których objętości przybliżymy walcami.

Zaczniemy od przecięcia bryły S płaszczyzną, otrzymując w ten sposób wycinek płaszczyzny zwany cięciem bryły S. Niech A(x) oznacza pole cięcia bryły S płaszczyzną P prostopadłą do osi x i przechodzącą przez punkt x, gdzie a $\leq$ x $\leq$ b. Oczywiście wartość A(x) będzie się zmieniać, gdy będziemy poruszać się z x od a do b.

Podzielmy bryłę S na n "plasterków" S₁, S₂,... o równej grubości $\Delta$x, dokonując odpowiednich cięć płaszczyznami P_x1, P_x2,.... Jeżeli wybierzemy teraz punkty próbkujące x_i^* $\in$ [x_i-1, x_i], to objętośc plastra S_i będziemy mogli przybliżyć objętością walca o polu podstawy równym A(x_i^*) i wysokości $\Delta$x.

Wobec tego objętość tak otrzymanego cylindra będzie wynosiła A(x_i^*)$\Delta$x, a więc objętość plastra S_i wyniesie w przybliżeniu

V(S_i) $$\approx$$ A(x_i^*)$$\Delta$$x.

Jeśli dodamy do siebie wszystkie tak otrzymane objętości, to otrzymamy przybliżenie objętości naszej bryły:

V $$\approx$$ $$\sum_{{i=1}}^{n}$$A(x_i^*)$$\Delta$$x.

Intuicyjnie wyczuwamy, że przybliżenie to będzie tym lepsze, im większe będzie n, a więc im więcej cięć będziemy rozważać. Wobec tego definiujemy objętość bryły jako granicę sum objętości aproksymujących walców. Z łatwością identyfikujemy taką granicę jako pewną całkę Riemanna. Dokładniej, jeśli S jest bryłą leżącą pomiędzy x = a oraz x = b i jeśli pole cięcia S płaszczyzną P_x przechodzącą przez punkt x i prostopadła do osi x wynosi A(x), przy czym otrzymana tak funkcja A jest ciągła, to objętość bryły S definiujemy jako

V = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$A(x_i^*)$$\Delta$$x = $$\int_{a}^{b}$$A(x)dx

Przykład: Pokazać, że objętośc kuli o promieniu r wynosi

V = $${\frac{{4}}{{3}}}$$$$\pi$$r³

Możemy przyjąć, że kula położona jest w ten sposób, że jej środek znajduje sie w środku układu współrzędnych. Wobec tego płaszczyna P_x przechodząca przez punkt x i prostopadła do osi x wycina z kuli koło o promieniu y = $\sqrt{{r^2 - x^2}}$.

Wobec tego pole takiego cięcia wynosi

A(x) = $$\pi$$y² = $$\pi$$(r² - x²).

Używając definicji objętości z a = - r oraz b = r otrzymujemy

$$\int_{{-r}}^{r} \int_{{-r}}^{r} \pi$$ V =

$$\pi \int_{0}^{r}$$ =

$$\pi {\frac{{x^3}}{{3}}} \pi {\frac{{r^3}}{{3}}}$$ =

$${\frac{{4}}{{3}}} \pi$$ =

Przykład: Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi y = x³, y = 8 oraz x = 0 wokół osi y.

Ponieważ rozpatrywany obszar obracany jest wokół osi y, sensownym rozwiązaniem wydaje się podzielenie otrzymanej bryły na plastry cięciami, które będą prostopadłe do osi y, a następnie scałkowanie względem zmiennej y.

Cięcie na wysokości y daje w rezultacie koło o promieniu x, gdzie x = $\sqrt[3]{{y}}$. Wobec tego pole cięcia wynosić będzie

A(y) = $$\pi$$x² = $$\pi$$($$\sqrt[3]{{y}}$$)² = $$\pi$$y^{${\frac{{2}}{{3}}}$}

i objętość aproksymującego walca wyniesie

A(y)$$\Delta$$y = $$\pi$$y^2/3$$\Delta$$y.

Ponieważ rozważana bryła leży pomiędzy y = 0 i y = 8, więc jej objętość wynosi:

V = $$\int_{0}^{8}$$A(y)dy = $$\int_{0}^{8}$$$$\pi$$y^2/3dy = $$\pi$$[$${\frac{{3}}{{5}}}$$y^5/3]|₀⁸ = $${\frac{{96 \pi}}{{5}}}$$.

Przykład: Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi y = x oraz y = x² wokół osi x.

Krzywe y = x oraz y = x² przecinają się w punktach (0, 0) oraz (1, 1).

Cięcie bryły S płaszczyzną P_x ma kształt pierścienia o promeniu wewnętrznym x² i promieniu zewnętrznym x, tak więc pole cięcia znajdujemy odejmując pole okręgu wewnętrznego od pola okręgu zewnętrznego:

A(x) = $$\pi$$x² - $$\pi$$(x²)² = $$\pi$$(x² - x⁴).

Tym samym objętość bryły wynosi

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \pi$$ V =

$$\pi {\frac{{x^3}}{{3}}} {\frac{{x^5}}{{5}}} {\frac{{2 \pi}}{{15}}}$$ =

Bryły rozważane w dwóch poprzednich przykładach to tzw. bryły obrotowe, a więc otrzymane poprzez obrót pewnego obszaru wokół pewnej osi. Za pomocą całek możemy oczywiści obliczać pola brył, które nie są bryłami obrotowymi - przynajmniej w pewnym zakresie.

Przykład: Obliczyć objętość bryły, której podstawą jest koło o promieniu 1, a cięcia prostopadłe do podstawy tworzą trójkąty równoboczne.

Powiedzmy, że podstawą walca jest koło o okręgu x² + y² = 1.

Ponieważ B należy do koła, mamy y = $\sqrt{{1 - x^2}}$ i długość podstawy trójkąta ABC wynosi | AB| = 2$\sqrt{{1 - x^2}}$. Ponieważ jest to trójkąt równoboczny, jego wysokośc wynosi $\sqrt{{3}}$y = $\sqrt{{3}}$$\sqrt{{1 - x^2}}$. Pole powierzchni cięcia wyniesie zatem

A(x) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$2$$\sqrt{{1 - x^2}}$$$$\sqrt{{3}}$$$$\sqrt{{1 - x^2}}$$ = $$\sqrt{{3}}$$(1 - x²)

i objętość rozważanej bryły równać się będzie

$$\int_{{-1}}^{1} \int_{{-1}}^{1} \sqrt{{3}}$$ V =

$$\int_{0}^{1} \sqrt{{3}} \sqrt{{3}} {\frac{{x^3}}{{3}}} {\frac{{4 \sqrt{3}}}{{3}}}$$ =