Podstawienia w całkach oznaczonych

Przy obliczaniu całek nieoznaczonych dość częstym trickiem jest całkowanie przez podstawienie. Korzystając ze wzory Newtona-Leibniza możemy tę metodę wykorzystać także w obliczaniu całek oznaczonych. Przykładowo, chcąc obliczyć całkę oznaczoną

$$\int_{0}^{4}$$$$\sqrt{{2x+1}}$$dx

możemy najpierw policzyć całkę nieoznaczoną $\int$$\sqrt{{2x + 1}}$dx, a następnie skorzystać ze wzoru Newtona-Leibniza. W obliczaniu tej całki konieczne jest zastosowania prostego podstawienia u = 2x + 1. Wówczas du = 2dx i otrzymujemy

$$\int$$$$\sqrt{{2x+1}}$$dx = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$$\sqrt{{u}}$$du = $${\frac{{1}}{{3}}}$$u^{${\frac{{3}}{{2}}}$} + C = $${\frac{{1}}{{3}}}$$(2x + 1)^{${\frac{{3}}{{2}}}$} + C

i na podstawie wzoru Leibniza

$$\int_{0}^{4}$$$$\sqrt{{2x+1}}$$dx = $${\frac{{1}}{{3}}}$$(2x + 1)^{${\frac{{3}}{{2}}}$}|₀⁴ = $${\frac{{1}}{{3}}}$$9^{${\frac{{3}}{{2}}}$} - $${\frac{{1}}{{3}}}$$1^{${\frac{{3}}{{2}}}$} = $${\frac{{26}}{{3}}}$$.

Sposób ten jest jak najbardziej poprawny, ale prowadzi do niebezpiecznych przyzwyczajeń, które okazują się szczególnie bolesne, gdy Czytelnik zacznie studiować teorię całek wielu zmiennych. Dlatego lepszym pomysłem jest dokonywanie zmian granic całkowania podczas procesu znajdowania całki nieoznaczonej - do tego służy nam twierdzenie o zmianie zmiennych w całce oznaczonej.

Twierdzenie: Jeśli pochodna g' jest ciągła na przedziale [a, b] oraz f jest ciągła w całym zbiorze wartości funkcji u = g(x), a $\leq$ x $\leq$ b, to wówczas

$$\int_{a}^{b}$$f (g(x))g'(x)dx = $$\int_{{g(a)}}^{{g(b)}}$$f (u)du.

Dowód: Niech F będzie całką nieoznaczoną z funkcji f. Wówczas F(g(x)) staje się całką nieoznaczoną z funkcji f (g(x))g'(x), a więc wobec wzoru Newtona-Leibniza otrzymujemy

$$\int_{a}^{b}$$f (g(x))g'(x)dx = F(g(x))|_a^b = F(g(b)) - F(g(a)).

Stosując wzór Newtona-Leibniza po raz drugi dostajemy:

$$\int_{{g(a)}}^{{g(b)}}$$f (u)du = F(u)|_g(a)^g(b) = F(g(b)) - F(g(a)).

Przykład: Obliczymy jeszcze raz całkę

$$\int_{0}^{4}$$$$\sqrt{{2x+1}}$$dx,

tym razem stosując powyższe twierdzenie. Jeśli u = 2x + 1, to du = 2dx. Ponadto, gdy x = 0, to u = 1 - a gdy x = 4, to u = 9. Zatem

$$\int_{0}^{4}$$$$\sqrt{{2x+1}}$$dx = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int_{1}^{9}$$$$\sqrt{{u}}$$du = $${\frac{{1}}{{3}}}$$u^{${\frac{{3}}{{2}}}$}|₁⁹ = $${\frac{{26}}{{3}}}$$.

Stosując twierdzenie o zamianie zmiennych w całce oznaczonej udowodnimy następujące twierdzenie, pozwalające łatwo obliczać całki z funkcji parzystych lub nieparzystych określonych na symetrycznych dziedzinach.

Twierdzenie: Załóżmy, że f jest ciągła na przedziale [a, b].

(a)

Jeśli f jest parzysta, tj. f (- x) = f (x), to wówczas $\int_{{-a}}^{a}$f (x)dx = 2$\int_{0}^{a}$f (x)dx.

(b)

Jeśli f jest nieparzysta, tj. f (- x) = - f (x), to wówczas $\int_{{-a}}^{a}$f (x)dx = 0.

Dowód: Rozbijamy nasze całki na dwie części:

$$\int_{{-a}}^{a}$$f (x)dx = $$\int_{{-a}}^{0}$$f (x)dx + $$\int_{0}^{a}$$f (x)dx = - $$\int_{0}^{{-a}}$$f (x)dx + $$\int_{0}^{a}$$f (x)dx.

W pierwszej całce po prawej stronie stosujemy podstawienie u = - x. Wówczas du = - dx i gdy x = - a, to u = a. A zatem

- $$\int_{0}^{{-a}}$$f (x)dx = - $$\int_{0}^{a}$$f (- u)(- du) = $$\int_{0}^{a}$$f (- u)du

i wcześniejsze równanie zapisze się w postaci

$$\int_{{-a}}^{a}$$f (x)dx = $$\int_{0}^{a}$$f (- u)du + $$\int_{0}^{a}$$f (x)dx.

Gdy f jest parzysta, to f (- u) = f (u) i otrzymujemy

$$\int_{{-a}}^{a}$$f (x)dx = $$\int_{0}^{a}$$f (u)du + $$\int_{0}^{a}$$f (x)dx = 2$$\int_{0}^{a}$$f (x)dx.

Gdy f jest nieparzysta, to f (- u) = - f (u) i otrzymujemy

$$\int_{{-a}}^{a}$$f (x)dx = - $$\int_{0}^{a}$$f (u)du + $$\int_{0}^{a}$$f (x)dx = 0.

Przykład: Obliczyć całkę

$$\int_{{-1}}^{1}$$$${\frac{{tg x}}{{1 + x + x^4}}}$$dx.

Stosując powyższe twierdzenie zauważamy, że skoro funkcja f (x) = ${\frac{{tg x}}{{1 + x + x^4}}}$ jest nieparzysta, to rozpatrywana całka równa jest zeru.