Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Nazwa "podstawowe twierdzenie rachunku całkowego" nie jest zbyt adekwatna - powinna brzmieć raczej "podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i różniczkowego", opisuje bowiem związek między tymi dwoma działami analizy matematycznej. Przypomnijmy, że rachunek różniczkowy "narodził się" z rozważań dotyczących problemu opisania stycznych do krzywych - z kolei rachunek całkowy wziął swój początek z prób opisu pól figur ograniczonych wykresami funkcji. Związek między tymi dwoma zagadnieniami został zauważony przez Isaaca Barrowa (1630-1677), jednego z nauczycieli Newtona, zaś sformalizowany i szczegółowo opisany później przez Newtona i Leibniza.

Twierdzenie składa się z dwóch części - choć w zastosowaniach głównie korzystamy z drugiej z nich, to kluczem do zrozumienia dowodu jest pierwsza część. Opisuje ona zachowanie funkcji postaci:

g(x) = $$\int_{a}^{x}$$f (t)dt,

gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b], zaś x przybiera wartości pomiędzy a i b. Funkcja g zależy w tym wypadku tylko od x, który jest górną granicą całkowania funkcji f. Jeśli x jest ustalona liczbą, to wtedy $\int_{a}^{x}$f (t)dt jest liczbą rzeczywistą - wszelako gdy x się zmienia, zmienia się też wartość całki $\int_{a}^{x}$f (t)dt, która tym samym staje się funkcją zmiennej x. W przypadku gdy f przyjmuje tylko dodatnie wartości, funkcję g(x) możemy interpretować jako pole pod wykresem f od punktu a począwszy, a na punkcie x skończywszy (a więc "dotychczasowe" pole "rozciągającej się" figury).

Co możemy powiedzieć o pochodnej takiej funkcji? Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą taką, że f (x) $\geq$ 0, a więc g(x) = $\int_{a}^{x}$f (t)dt reprezentuje pole pod wykresem f od punktu a do punktu x. Aby obliczyć pochodną funkcji g z definicji wpierw zauważmy, że dla h > 0 różnica g(x + h) - g(x) jest różnicą pól figur, a więc polem pod wykresem funkcji f od punktu x do x + h.

Dla małych wartości h wartość ta równa się w przybliżeniu polu prostokąta o wysokości f (x) i szerokości h:

g(x + h) - g(x) $$\approx$$ hf (x),

a zatem

$${\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}}$$ $$\approx$$ f (x).

Tak więc intuicyjnie możemy zapisać, że

g'(x) = $$\lim_{{h \rightarrow 0}}^{}$$$${\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}}$$ = f (x).

Twierdzenie to zapiszemy teraz dokładnie i przeprowadzimy formalny dowód.

Twierdzenie (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego): Jeśli f jest funkcją ciągła na przedziale [a, b], to funkcja g zdefiniowana wzorem

g(x) = $$\int_{a}^{x}$$f (t)dt, a $$\leq$$ x $$\leq$$ b

jest ciągła na przedziale [a, b] i różniczkowalna na przedziale (a, b) oraz zachodzi wzór

g'(x) = f (x).

Dowód: Jeśli x oraz x + h są liczbami z przedziału (a, b), to:

$$\int_{a}^{{x+h}} \int_{a}^{x}$$ g(x + h) - g(x) =

$$\int_{a}^{x} \int_{x}^{{x+h}} \int_{a}^{x}$$ =

$$\int_{x}^{{x+h}}$$ =

a więc dla h $\neq$ 0 dostajemy

$${\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}}$$ = $${\frac{{1}}{{h}}}$$$$\int_{x}^{{x+h}}$$f (t)dt.

Załóżmy dalej, że h > 0. Ponieważ f jest ciągła na przedziale [x, x + h], więc dla pewnych liczb u i v z tego przedziału f (u) = m oraz f (v) = M, gdzie m i M są, odpowiednio, najmniejszą i największą wartością funkcji f na przedziale [x, x + h].

Zatem na mocy jednej z podstawowych własności całek dostajemy:

mh $$\leq$$ $$\int_{x}^{{x+h}}$$f (t)dt $$\leq$$ Mh

czyli

f (u)h $$\leq$$ $$\int_{x}^{{x+h}}$$f (t)dt $$\leq$$ f (v)h.

Ponieważ h > 0, więc po podzieleniu wszystkich stron nierówności przez h dostaniemy

f (u) $$\leq$$ $${\frac{{1}}{{h}}}$$$$\int_{x}^{{x+h}}$$f (t)dt $$\leq$$ f (v),

co po połączeniu z wcześniej otrzymanym wzorem daje

f (u) $$\leq$$ $${\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}}$$ $$\leq$$ f (v).

W podobny sposób możemy dowieśc podobnej nierówności w przypadku, gdy h < 0 - ta część dowodu pozostawiona jest Czytelnikowi jako ćwiczenie. Niech teraz h $\rightarrow$ 0. Wówczas u $\rightarrow$ x oraz v $\rightarrow$ x, ponieważ u i v leżą pomiędzy x i x + h. Tym samym

$$\lim_{{h \rightarrow 0}}^{}$$f (u) = $$\lim_{{u \rightarrow x}}^{}$$f (u) = f (x)

oraz

$$\lim_{{h \rightarrow 0}}^{}$$f (v) = $$\lim_{{v \rightarrow x}}^{}$$f (v) = f (x),

ponieważ f jest ciągła w punkcie x. W połączeniu z wcześniejszymi rozważaniami i z twierdzeniem o trzech ciągach daje to

g'(x) = $$\lim_{{h \rightarrow 0}}^{}$$$${\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}}$$ = f (x).

W poprzednim paragrafie obliczyliśmy kilka całek oznaczonych korzystając wprost z definicji - przekonaliśmy się też, że na ogół bywa to dość uciążliwe. Udowodnimy teraz drugą część podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, zwaną też wzorem Newtona-Leibniza, która umożliwi nam stosunkowo łatwe obliczanie całek oznaczonych.

Twierdzenie (wzór Newtona-Leibniza): Jeśli f jest funkcją ciągła na przedziale [a, b], to wówczas

$$\int_{a}^{b}$$f (x)dx = F(b) - F(a),

gdzie F jest całką nieoznaczoną z funkcji f, a więc dowolną taką funkcją, że F' = f.

Dowód: Niech g(x) = $\int_{a}^{x}$f (t)dt. Wiemy, że g'(x) = f (x) - a zatem g jest całką nieoznaczoną z funkcji f. Jeżeli F jest inną całką nieoznaczoną tej samej funkcji to, jak wiemy, różni się od g co najwyżej o pewną stałą:

F(x) = g(x) + c

dla a < x < b. Wszelako zarówno F jak i g są ciągłe na przedziale [a, b], a więc rozważając granice powyższych funkcji przy x $\rightarrow$ a⁺ oraz x $\rightarrow$ b^- widzimy, że powyższa równośc zachodzi też dla x = a oraz x = b.

Podstawiając x = a we wzorze na g(x) otrzymujemy

g(a) = $$\int_{a}^{a}$$f (t)dt = 0,

co po połączeniu z wcześniejszymi rozważaniami daje

F(b) - F(a) = (g(b) + C) - (g(a) + C) =

$$\int_{a}^{b}$$ =

Przykład: Obliczyć całkę $\int_{1}^{3}$e^xdx.

Funkcja f (x) = e^x jest ciągła w każdym punkcie przedziału [1, 3] i całka nieoznaczona z tej funkcji F równa jest F(x) + e^x. Tak więc wobec wzoru Newtona - Leibniza:

$$\int_{a}^{b}$$e^xdx = F(3) - F(1) = e³ - e.