Całka oznaczona

Rozważania dotyczące całek oznaczonych rozpoczniemy od próby rozwiązania następującego problemu: znaleźć pole obszaru S położonego pod krzywą y = f (x) między punktami a i b:

Na powyższej ilustracji obszar S ograniczony jest wykresem ciągłej funkcji f (gdzie f (x) $\geq$ 0), pionowymi liniami x = 1 oraz x = b i osią OX.

W pierwszej kolejności musimy sobie odpowiedzieć na pytanie, co rozumiemy pod pojęciem pola obszaru. Znamy odpowiedź w przypadku obliczania pól obszarów figur płaskich ograniczonych prostymi: znamy wzór na pole prostokąta, znamy wzór na pole trójkąta, możemy obliczyć też pole dowolnego wielokąta dzieląc go na trójkąty i sumując ich pola. Z doświadczenia wiemy jednak, że sprawa istotnie się komplikuje, gdy przychodzi nam policzyć pola figur "zaokrąglonych" - praktycznie jesteśmy bezradni w przypadku, gdy "zaokrąglenie" nie jest jakimś wycinkiem koła. Mamy oczywiście intuicyjne wyczucie, czym pole obszaru jest, a czym nie jest: spróbujemy teraz trochę tę intuicję sformalizować. Ogólnie rzecz biorąc, przybliżymy pole naszej figury za pomocą prostokątów, a następnie zdefiniujemy pole jako granicę sum pól prostokątów przy zwiększającej się ich liczbie. Zilustrujmy to na prostym przykładzie: chcemy policzyć pole pod parabolą y = x² pomiędzy 0 i 1.

Oznaczmy figurę, której pola szukamy przez S i podzielmy ją na cztery paski S₁, S₂, S₃ i S₄ poprzez nakreślenie pionowych linii x = ${\frac{{1}}{{4}}}$, x = ${\frac{{1}}{{2}}}$ oraz x = ${\frac{{3}}{{4}}}$ (ilustracja (a) poniżej):

Każdy z zaznaczonych pasków możemy przybliżyć za pomocą prostokąta, którego podstawa jest taka sama jak podstawa danego paska, a wysokość równa jest prawej krawędzi danego paska (ilustracja (b) powyżej). Innymi słowy, wysokości naszych prostokątów równe są wartościom funkcji f (x) = x² na prawych końcach przedziałów [0,${\frac{{1}}{{4}}}$], [${\frac{{1}}{{4}}}$,${\frac{{1}}{{2}}}$], [${\frac{{1}}{{2}}}$,${\frac{{3}}{{4}}}$], [${\frac{{3}}{{4}}}$, 0].

Każdy z opisywanych prostokątów ma szerokość ${\frac{{1}}{{4}}}$, zaś ich wysokości równe są, odpowiednio, (${\frac{{1}}{{4}}}$)², (${\frac{{1}}{{2}}}$)², (${\frac{{3}}{{4}}}$)² i 1². Jeśli oznaczymy przez R₄ sumę pól naszych prostokątów, otrzymamy:

R₄ = $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. ($${\frac{{1}}{{4}}}$$)² + $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. ($${\frac{{1}}{{2}}}$$)² + $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. ($${\frac{{3}}{{4}}}$$)² + $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. 1² = $${\frac{{15}}{{32}}}$$ = 0, 46875.

Oczywiście pole A figury S jest mniejsze niż R₄, a więc

A < 0, 46875.

Zamiast przybliżać figurę S prostokątami takimi, jak na powyższej ilustracji, możemy użyć mniejszych prostokątów, których wysokości są wartościami funkcji f na lewych końcach przedziałów. Wówczas suma pól takich nowych prostokątów wyniesie:

L₄ = $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. 0² + $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. ($${\frac{{1}}{{4}}}$$)² + $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. ($${\frac{{1}}{{2}}}$$)² + $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. ($${\frac{{3}}{{4}}}$$)² = $${\frac{{7}}{{32}}}$$ = 0, 21875.

Oczywiście pole figury S jest większe niż L₄, wobec czego otrzymujemy górne i dolne oszacowania pola A:

0, 21875 < A < 0, 46875.

Możemy teraz powtórzyć powyższą procedurę z większą liczbą pasków. Poniższa ilustracja pokazuje takie przybliżenie dla ośmiu pionowych pasków:

Czytelnik zechce sprawdzić, że w powyższym przypadku otrzymamy następujące oszacowania:

0, 2734375 < A < 0, 3984375.

Oczywiście zwiększając liczbę pasków otrzymamy lepsze przybliżenia. Poniższa tabelka przedstawia wyniki przeprowadzonych obliczeń dla n prostokątów, których wysokości znaleziono opuszczono na lewe końce przedziałów (L_n) oraz na prawe końce przedziałów (R_n):

n	Ln	Rn
10	0,2850000	0,3850000
20	0,3087500	0,3587500
30	0,3168519	0,3501852
50	0,3234000	0,3434000
100	0,3283500	0,3383500
1000	0,3328335	0,3338335

Tabelka ta pozwala przypuszczać, że zarówno L_n jak i R_n przy kolejnych przybliżeniach zbliżają się do ${\frac{{1}}{{3}}}$. Faktycznie, sprawdzimy iż jest to prawdą w przypadku R_n. Ustalmy zatem liczbę n prostokątów, z których każdy będzie miał szerokość ${\frac{{1}}{{n}}}$ i wysokość będącą wartością funkcji f (x) = x² w punktach ${\frac{{1}}{{n}}}$, ${\frac{{2}}{{n}}}$, ${\frac{{3}}{{n}}}$, ..., ${\frac{{n}}{{n}}}$. Wobec tego wysokości równe są, odpowiednio, (${\frac{{1}}{{n}}}$)², (${\frac{{2}}{{n}}}$)², (${\frac{{3}}{{n}}}$)², ..., (${\frac{{n}}{{n}}}$)². Zatem:

$${\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{2}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{3}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{n}}{{n}}}$$ R_n =

$${\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n^2}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{n^3}}}$$ =

Skorzystajmy ze znanego wzoru na sumę kwadratów pierwszych n liczb naturalnych, który można wyprowadzić chociażby metodą indukcji matematycznej:

1² +2² +3² +...+ n² = $${\frac{{n(n+1)(2n+1)}}{{6}}}$$.

Podstawiając odpowiednią wartość w miejsce wspomnianej sumy otrzymujemy:

R_n = $${\frac{{1}}{{n^3}}}$$ ^. $${\frac{{n(n+1)(2n+1)}}{{6}}}$$ = $${\frac{{(n+1)(2n+1)}}{{6n^2}}}$$.

Wobec tego otrzymujemy:

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{(n+1)(2n+1)}}{{6n^2}}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{1}}{{6}}} {\frac{{n+1}}{{n}}} {\frac{{2n+1}}{{n}}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{1}}{{6}}} {\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{6}}} {\frac{{1}}{{3}}}$$ =

W podobny sposów możemy pokazać, że także dolna suma aproksymacyjna L_n dązy do ${\frac{{1}}{{3}}}$, czyli:

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$L_n = $${\frac{{1}}{{3}}}$$.

Na przedstawionych ilustracjach widzimy, że gdy n się zwiększa to zarówno L_n jak i R_n stają się coraz lepszymi przybliżeniami pola powierzchi S. Wobec tego możemy zdefiniować pole A jako granicę sum aproksymujących prostokątów:

A = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$R_n = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$L_n = $${\frac{{1}}{{3}}}$$.

Postaramy się teraz uogólnić poczynione obserwacje na przypadek dowolnej figury S leżącej pod wykresem funkcji y = f (x) między punktami a i b. Tak jak poprzednio, podzielmy figurę S na n pasków S₁, S₂,..., S_n równej szerokości:

Szerokość całego przedziału [a, b] wynosi oczywiście b - 1, tak więc szerokość każdego z n pasków równa jest:

$$\Delta$$x = $${\frac{{b-a}}{{n}}}$$.

Paski dzielą przedział [a, b] na n podprzedziałów

[x₀, x₁],[x₁, x₂],[x₂, x₃],...,[x_n-1, x_n]

gdzie x₀ = a oraz x_n = b. Prawe końce przedziałów równe są:

x₁ = a + $$\Delta$$x, x₂ = a + 2$$\Delta$$x, x₃ = a + 3$$\Delta$$x,...

Przybliżmy pole i -tego paska S_i przez pole prostokąta o szerokości $\Delta$x i wysokości f (x_i), to jest wysokości równej wartości funkcji f w prawym końcu przedziału:

Wówczas pole powierzchni i -tego prostokąta równe jest f (x₁)$\Delta$x. Zgodnie z intuicją pole figury S daje się aproksymować sumą pól tak skonstruowanych prostokątów, która jest równa

R_n = f (x₁)$$\Delta$$x + f (x₂)$$\Delta$$x +...+ f (x_n)$$\Delta$$x.

Tym samym możemy podać definicję pola powierzchni A figury S:

Definicja: Pole powierzchni A figury S położonej pod wykresem ciągłej funkcji f jest równe granicy sum aproksymujących prostokątów:

A = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$R_n = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$[f (x₁)$$\Delta$$x + f (x₂)$$\Delta$$x +...+ f (x_n)$$\Delta$$x].

Można udowodnić, iż granica w powyższej definicji zawsze istnieje, o ile założymy, że funkcja f jest ciągła. Można również pokazać, że otrzymamy taką samą wartość A jeśli użyjemy lewych końców przedziałów przy konstrukcji aproksymujących prostokątów:

A = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$L_n = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$[f (x₀)$$\Delta$$x + f (x₁)$$\Delta$$x +...+ f (x_n-1)$$\Delta$$x].

Co więcej, da się udowodnić, iż zamiast używać lewych lub prawych końców przedziałów możemy jako wysokość i -tego prostokąta aproksymacyjnego przyjąć wartość funkcji f w dowolnym punkcie x_i^* i -tego podprzedziału [x_i-1, x_i]. Tym samym najbardziej ogólnym wzorem wyrażającym pole A jest:

A = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$[f (x₁^*)$$\Delta$$x + f (x₂^*)$$\Delta$$x +...+ f (x_n^*)$$\Delta$$x].

Zanim przejdziemy do podania formalnej definicji całki, rozwiążmy jeszcze jeden problem: znaleźć drogę, jaką przebył dany obiekt podczas pewnego przedziału czasu, jeśli prędkość danego obiektu była znana w każdej chwili danego przedziału czasowego. Jak dobrze wiemy, o ile tylko prędkość pozostaje stała, przebytą odległość potrafimy łatwo wyznaczyć ze wzoru:

droga = prędkość × czas

Jeżeli jednak prędkość zmienia się w czasie, wyznaczenie przebytej drogi staje się bardziej skomplikowane. Załóżmy, na przykład, że odległościomierz w naszym samochodzie się zepsuł, a my chcemy wyznaczyć drogę przebytą w ciągu pewnego 30-sekundowego przedziału czasowego. Odczyty prędkościomierza zostały zanotowane w poniższej tabeli:

Czas (s)	0	5	10	15	20	25	30
Prędkość (km/h)	92	114	129	159	174	170	151

(autorzy FAQ nie zachęcają Czytelników do podróżowania z prędkościami odnotowanymi w tabeli). Aby czas i prędkość wyrażone zostały w zgodnych jednostkach, przekonwertujmy kilometry/godzinę na metry/sekundę przyjmując przelicznik 1 km/h = 0,27 m/s i zaokrąglając do całkowitych wyników:

Czas (s)	0	5	10	15	20	25	30
Prędkość (m/s)	25	31	35	43	47	46	41

Podczas pierwszych pięciu sekund prędkość nie zmienia się znacząco, wobec tego możemy przybliżyć przebytą w tym czasie drogę zakładając, że prędkość była stała. Jeżeli więc założymy, że prędkość w ciągu pierwszych pięciu sekund była taka, jak na ich początku (tj. 25 m/s), to przebyta droga w przybliżeniu równa będzie:

25m/s×5s = 125m.

Podobnie, podczas drugiego przedziału czasowego prędkość jest w przybliżeniu stała i wobec tego możemy przyjąć, że jest stale równa prędkości w chwili t = 5s. Tym samym możemy oszacować drogę przebytą między chwilami t = 5s a t = 10s w następujący sposób:

31m/s×5s = 155m.

Jeżeli przeprowadzimy podobne rozumowanie dla każdego z występujących w tabeli interwału czasowego, to łączna przebyta droga będzie równa:

25×5 + 31×5 + 35×5 + 43×5 + 47×5 + 46×5 = 1135m.

Zamiast rozważań prędkości mierzone na początkach każdego z przedziałów czasowych, możemy równie dobrze rozważać prędkości na końcach tych przedziałów. Otrzymalibyśmy wówczas:

31×5 + 35×5 + 43×5 + 47×5 + 46×5 + 41×5 = 1215m.

Oczywiście chcąc otrzymać dokładniejszy wynik, musielibyśmy dokonywać pomiarów prędkości nie co 5 sekund, ale co 2 sekundy, lub - jeszcze lepiej - co sekundę. Rozważane sumy zaczynają nam zatem coś przypominać...

W ogólności, przypuśćmy że dany obiekt porusza się z prędkością zmienną w czasie i opisaną funkcją v = f (t), gdzie a $\leq$ t $\leq$ b oraz f (t) $\geq$ 0 (ostatnie założenie oznacza, że obiekt porusza się stale w jednym kierunku). Załóżmy, że dokonaliśmy pomiarów prędkości w chwilach t₀(= a), t₁, t₂,..., t_n(= b) w ten sposób, że prędkość obiektu jest mniej więcej stała na każdym przedziale czasowym wyznaczonym przez dokonane pomiary. Jeżeli dodatkowo założymy, że wszystkie przedziały czasowe są jednakowej długości, to czas upływający pomiędzy kolejnymi dwoma pomiarami wynosi $\Delta$t = (b - a)/n. W pierwszym przedziale czasowym prędkość jest w przybliżeniu równa f (t₀) i przebyta odległość wynosić będzie w przybliżeniu f (t₁)$\Delta$t. Podobnie, w drugim przedziale czasowym przebyta droga wyniesie f (t₁)$\Delta$ i, konsekwentnie, całkowita droga przebyta w przedziale czasowym [a, b] wyniesie w przybliżeniu:

f (t₀)$$\Delta$$t + f (t₁)$$\Delta$$t +...+ f (t_n-1)$$\Delta$$t = $$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (t_i-1)$$\Delta$$t.

Gdybyśmy zamiast lewych użyli prawych końców przedziałów czasowych, to przebyta droga byłaby w przybliżeniu równa:

f (t₁)$$\Delta$$t + f (t₂)$$\Delta$$t +...+ f (t_n)$$\Delta$$t = $$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (t_i)$$\Delta$$t.

Oczywiście im częściej dokonujemy pomiarów, tym dokładniejsze oszacowania drogi będziemy otrzymywać, a zatem wydaje się rozsądne aby przyjąć następującą definicję przebytej drogi:

d = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (t_i-1)$$\Delta$$t = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (t_i)$$\Delta$$t.

Widzimy, że powyższe równanie jest dokładnie tej samej postaci, co wcześniej otrzymane równanie opisujące pole powierzchni figury ograniczonej wykresem funkcji - a zatem droga przebyta przez dany obiekt równa jest polu powierzchni pod wykresem funkcji prędkości zależnej od czasu. W dalszej części tego wykładu zobaczymy, że wiele innych wielkości występujących w przyrodzie można zinterpretować jako pole pod wykresem pewnej funkcji. Wobec tego powstaje konieczność zdefiniowania jednolitej teorii pozwalającej badać takie wielkości. W ten naturalny sposób wprowadzamy definicję całki oznaczonej:

Niech f będzie funkcją ciągła zdefiniowaną dla a $\leq$ x $\leq$ b. Podzielmy przedział [a, b] na n podprzedziałów o równej długości wynoszącej $\Delta$x = (b - a)/n. Niech x₀(= a), x₁, x₂,..., x_n(= b) będą końcami tych podprzedziałów i niech x₁^*, x₂^*,..., x_n^* będą dowolnymi punktami próbkującymi w tych przedziałach, x_i^* $\in$ [x_i-1, x_i]. Wówczas całkę oznaczoną z funkcji f w przedziale od a do b oznaczamy i definiujemy jako:

$$\int_{a}^{b}$$f (x)dx = $$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$$$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (x_i^*)$$\Delta$$x.

Ponieważ założyliśmy, że f jest ciągła, można udowodnić, że granica podana w powyższej definicji zawsze istnieje i jest niezależna od wyboru punktów próbkujących. Bardziej precyzyjnie granicę tę możemy zapisać tak:

$$\forall_{{\epsilon > 0}}^{}$$$$\exists_{{N \in {\mathbb N}}}^{}$$$$\forall_{{n > N}}^{}$$$$\forall_{{x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]}}^{}$$|$$\int_{a}^{b}$$f (x)dx - $$\sum_{{i=1}}^{n}$$f (x_i^*)$$\Delta$$x| < $$\epsilon$$,

gdzie $\Delta$x = x_i - x_i-1. Jakkolwiek większość funkcji, z którymi będziemy mieć do czynienia jest ciągła, można pokazać, że granica występująca w naszej definicji istnieje także wtedy, gdy f ma skończoną liczbę usuwalnych punktów nieciągłości lub "skoków" - granica nie będzie istniała, jeśli funkcja będzie miała punkt nieciągłości, w którym granica funkcji równa jest nieskończoności.

Symbol całki $\int$ został wprowadzony przez Leibniza i nawiązuje do kształtu literki S - jako, że mamy do czynienia z obliczaniem sum. W zapisie $\int_{a}^{b}$f (x)dx funkcję f nazywamy funkcją podcałkową, liczbę a dolną granicą całkowania, a liczbę b górną granicą całkowania. Proces znajdowania całki zwiemy całkowaniem. Występującą w definicji sumę $\sum_{{i=1}}^{n}$f (x_i^*)$\Delta$x nazywamy sumą Riemanna - w przypadku, gdy f przyjmuje wartości dodatnie, może być interpretowana jako suma pól prostokątów, którymi przybliżamy pole pod wykresem funkcji.

Podamy teraz kilka przykładów, w jaki sposób można obliczać całki oznaczone korzystając z definicji.

Przykład: Obliczyć całkę $\int_{0}^{3}$(x³ - 6x)dx.

Dzielimy przedział [0, 3] na n podprzedziałów, każdy o długości $\Delta$x = ${\frac{{3}}{{n}}}$. Przedziały te mają swe końce w punktach x₀ = 0, x₁ = ${\frac{{3}}{{n}}}$, x₂ = ${\frac{{6}}{{n}}}$ i ogólnie x_i = ${\frac{{3i}}{{n}}}$. Jako że całka nie zależy od wyboru punktów próbkujących, możemy przyjąć, że znajdują się w prawych końcach przedziałów. Wobec tego:

$$\int_{0}^{3} \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \Delta \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} {\frac{{3i}}{{n}}} {\frac{{3}}{{n}}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{3}}{{n}}} \sum_{{i=1}}^{n} {\frac{{3i}}{{n}}} {\frac{{3i}}{{n}}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{3}}{{n}}} \sum_{{i=1}}^{n} {\frac{{27}}{{n^3}}} {\frac{{18}}{{n}}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{81}}{{n^4}}} \sum_{{i=1}}^{n} {\frac{{54}}{{n^2}}} \sum_{{i=1}}^{{\infty}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{81}}{{n^4}}} {\frac{{n(n+1)}}{{2}}} {\frac{{54}}{{n^2}}} {\frac{{n(n+1)}}{{2}}}$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} {\frac{{81}}{{4}}} {\frac{{1}}{{n}}} {\frac{{1}}{{n}}}$$ =

$${\frac{{81}}{{4}}} {\frac{{27}}{{4}}}$$ =

W powyższych przekształceniach skorzystaliśmy z następujących wzorów na sumę kolejnych n liczb i na sumę kolejnych n trzecich potęg:

$$\sum_{{i=1}}^{n}$$i = $${\frac{{n(n+1)}}{{2}}}$$,

$$\sum_{{i=1}}^{n}$$i³ = [$${\frac{{n(n+1)}}{{2}}}$$]².

Więcej wzorów tego typu znaleźć można w sekcji poświęconej indukcji matematycznej.

W praktycznych zastosowaniach obliczanie całek jako granic sum Riemanna jest niezwykle uciążliwe i czasochłonne. W kolejnym paragrafie poznamy o wiele szybsze i sprawniejsze metody całkowania, ale zanim to zrobimy, zapoznamy się z kilkoma ogólnymi prawidłami rachunku całkowego.

Podczas definiowania całki $\int_{a}^{b}$f (x)dx milcząco założyliśmy, że a < b. Wszelako definicja całki jako granicy sum Riemanna jest dobrze określona także wtedy, gdy a > b. Zauważmy, że jeśli zamienimy miejscami a i b, to $\Delta$x zmieni się z ${\frac{{b-a}}{{n}}}$ na ${\frac{{a-b}}{{n}}}$. Wobec tego:

$$\int_{a}^{b}$$f (x)dx = - $$\int_{b}^{a}$$f (x)dx.

Jeśli a = b, to wtedy $\Delta$x = 0, a zatem:

$$\int_{a}^{a}$$f (x)dx = 0.

Dalej, jeśli f jest stałą funkcją f (x) = c, to $\int_{a}^{b}$f (x)dx równe jest stałej c pomnożonej przez długośc przedziału [a, b]. Gdy c > 0 i a < b, jest to zgodne z naszymi oczekiwaniami, jako że całka reprezentuje pole prostokąta c(b - a):

$$\int_{a}^{b}$$cdx = c(b - a).

Całka z sumy dwóch funkcji równa będzie sumie całek tych funkcji. Gdy funkcje te są dodatnie, rezultat ten możemy interpretować następująco: pole pod wykresem funkcji f + g równe jest sumie pól pod wykresami funkcji f i g. Ogólnie, fakt ten jest prostą konsekwencją tego, że granica sumy dwóch ciągów jest równa sumie granic tychże ciągów:

$$\int_{a}^{b} \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \Delta$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \Delta \sum_{{i=1}}^{n} \Delta$$ =

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \Delta \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \Delta$$ =

$$\int_{a}^{b} \int_{a}^{b}$$ =

Tym samym otrzymujemy:

$$\int_{a}^{b}$$[f (x) + g(x)]dx = $$\int_{a}^{b}$$f (x)dx + $$\int_{a}^{b}$$g(x)dx.

W zupełnie podobny sposób pokazujemy, że także:

$$\int_{a}^{b}$$[f (x) - g(x)]dx = $$\int_{a}^{b}$$f (x)dx - $$\int_{a}^{b}$$g(x)dx.

Kolejna własność mówi nam w jaki sposób możemy łączyć ze sobą całki z tej samej funkcji na sąsiadujących przedziałach:

$$\int_{a}^{c}$$f (x)dx + $$\int_{c}^{b}$$f (x)dx = $$\int_{a}^{b}$$f (x)dx.

Formalny dowód tej własności wymaga wprowadzenia dość skomplikowanych oznaczeń, pozostawimy go więc jako żmudne, acz nietrudne ćwiczenie Czytelnikowi. Intuicyjne rozumienie powyższej równości jest jasne: jeśli f (x) $\geq$ 0 oraz a < c < b, to pole pod wykresem f od a do c razem z polem od c do b równe jest całkowitemu polu od a do b.

Powyższe własności pozostają prawdziwe niezależnie od tego, czy a < b, a = b czy też a > b. Obecnie podamy kilka własności przy bardziej szczegółowych założeniach. Jeśli f (x) $\geq$ 0 dla a $\leq$ x $\leq$ b, to wówczas

$$\int_{a}^{b}$$f (x)dx $$\geq$$ 0.

Prosty dowód tej własności pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie. Jej intuicyjne znaczenie jest całkowicie jasne: jeśli f (x) $\geq$ 0, to wtedy $\int_{a}^{b}$f (x)dx przedstawia pole pod wykresem funkcji f, a więc musi być to dodatnia liczba rzeczywista. Bezpośrednia konsekwencja tej własności jest następująca: jeśli f (x) > g(x) dla a $\leq$ x $\leq$ b, to wówczas

$$\int_{a}^{b}$$f (x)dx $$\geq$$ $$\int_{a}^{b}$$g(x)dx.

Na koniec możemy podać proste oszacowanie całki: jeśli m $\leq$ f (x) $\leq$ M dla a $\leq$ x $\leq$ b, to wtedy

m(b - a) $$\leq$$ $$\int_{a}^{b}$$f (x)dx $$\leq$$ M(b - a).

Faktycznie, jeśli m $\leq$ f (x) $\leq$ M, to wobec jednej z wcześniejszych własności

$$\int_{a}^{b}$$mdx $$\leq$$ $$\int_{a}^{b}$$f (x)dx $$\leq$$ $$\int_{a}^{b}$$Mdx,

co po obliczeniu wartości całek występujących po skrajnej lewej i skrajnej prawej stronie daje żądane oszacowanie. Własność tę możemy odczytywać następująco: pole pod wykresem funkcji f jest większe niż pole prostokąta o wysokości m, gdzie m jest najmniejszą wartością funkcji f na przedziale [a, b] - i mniejsze od pola prostokąta o wysokości M, gdzie M jest największą wartością funkcji.