Next: Całki funkcji zawierających pierwiastek
Up: Rachunek całkowy
Previous: Całki funkcji trygonometrycznych
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach postaci
,
gdzie m, n są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to wykonujemy podstawienie:
x = tN
gdzie N jest wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków postaci
.
Przykład: Obliczyć całkę:
.
Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach
oraz
.
Wspólnym mianownikiem powyższych ułamków jest 6, wykonujemy więc podstawienie:
x = t6.
Stąd
dx = 6t5dt,
= t3,
= t2 i otrzymujemy całkę:
dt,
którą dalej liczymy znanymi metodami liczenia całek z funkcji wymiernych.
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz
- potęg dwumianu ax + b lub
- funkcji homograficznej
(gdzie
ad - bc 0)
o wykładnikach postaci
, gdzie m, n sa liczbami naturalnymi względnie pierwszymi,
to w pierwszym wypadku wykonujemy podstawienie
ax + b = tN
a w drugim przypadku:
=
tN
gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci
.
Przykład: Obliczyć całkę:
.
Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęg dwumianu 2x - 10 o wykładnikach
oraz
. Wspólnym mianownikiem powyższych ułamków jest 6, wykonujemy więc podstawienie:
2x - 10 = t6.
Stąd
2dx = 6t5dt, czyli
dx = 3t5dt,
x = t6 + 5,
= t3,
= t2 i otrzymujemy całkę:
dt
którą dalej liczymy znanymi metodami liczenia całek z funkcji wymiernych.
Przykład: Obliczyć całkę:
Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęgi funkcji homograficznej
o wykładniku
, wykonujemy więc podstawienie:
=
t3.
Stąd
x = ,
dx = i otrzymujemy całkę:
którą (po uproszczeniu) liczmy dalej znanymi metodami.
Ćwiczenia:
-
Odpowiedź:
+ C
-
xdx Odpowiedź:
(x2 - x - 12) + C
-
dx Odpowiedź:
2 + ln|| + C
-
Odpowiedź:
((x - 5) - (x - 7)) + C
-
. Odpowiedź:
ln| 1 - | - ln| x| - arcsinx + C
Next: Całki funkcji zawierających pierwiastek
Up: Rachunek całkowy
Previous: Całki funkcji trygonometrycznych
Pawel Gladki
2006-01-30