Next: Metoda współczynników nieoznaczonych Up: Rachunek całkowy Previous: Całki funkcji zawierających pierwiastki

Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego. Podstawienie Eulera

Opiszemy metodę całkowania funkcji zawierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego. Pierwszym krokiem przy rozwiązywaniu tegu typu całek jest zawsze sprowadzenie występującego tam trójmianu do postaci kanonicznej:

ax² + bx + c = a(x + $\displaystyle {\frac{{b}}{{2a}}}$ )² - $\displaystyle {\frac{{b^2 - 4ac}}{{4a}}}$

i wykonanie odpowiedniego podstawienia, dzięki któremu dalsze obliczenia sprowadzają się do znalezienia całki z funkcji zawierającej wyrażenie jednego z trzech następujących typów:

$\displaystyle \sqrt{{1 - y^2}}$ , $\displaystyle \sqrt{{1 + y^2}}$ , $\displaystyle \sqrt{{y^2 - 1}}$ .

Opiszemy metody całkowania w każdym z trzech przypadków z osobna.

Całki z funkcji zawierających wyrażenie $\sqrt{{1 - y^2}}$ . Całki takie obliczamy stosując podstawienie:

y = sin(t).

Wówczas dy = cos(t)dt oraz $\sqrt{{1 - y^2}}$ = $\sqrt{{1 - sin^2(t)}}$ = cos(t).

Przykład: Obliczyć całkę:

$\displaystyle \int$ x² $\displaystyle \sqrt{{1 - x^2}}$ dx.

Stosujemy podstawienie x = sin(t), skąd dx = cos(t)dt i otrzymujemy:

$\displaystyle \int$ x² $\displaystyle \sqrt{{1 - x^2}}$ dx= $\displaystyle \int$ sin²(t)cos(t)cos(t)dt=
	=	$\displaystyle \int$ (sin(t)cos(t))²dt = $\displaystyle \int$ ( $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ sin(2t))²dt =
	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ $\displaystyle \int$ sin²(2t)dt = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ (1 - cos(4t))dt =
	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ dt - $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ $\displaystyle \int$ cos(4t)dt = $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ t - $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ sin(4t) + C =
	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ srcsin(x) - $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ x(1 - 2x²) $\displaystyle \sqrt{{1 - x^2}}$ + C.

W ostatniej linijce zamieniliśmy nową zmnienną t na starą zmienną x - ten krok wymaga na ogół zastosowania kilku sztuczek, które omówimy szczegółowo poniżej.

Całki z funkcji zawierających wyrażenie $\sqrt{{1 + y^2}}$ . Całki takie obliczamy stosując podstawienie:

y = tg(t).

Wówczas dy = ${\frac{{1}}{{cos^2(t)}}}$ dt oraz $\sqrt{{1 + y^2}}$ = $\sqrt{{1 + tg^2(t)}}$ = $\sqrt{{\frac{cos^2(t) + sin^2(t)}{cos^2(t)}}}$ = ${\frac{{1}}{{cos(t)}}}$ .

Przykład: Obliczyć całkę:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}}}$ dx.

Najpierw sprowadzamy trójmian do postaci kanonicznej:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}}}$ dx = $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{(x+1)^2 + 4}}}}$ dx = $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{4(\frac{(x+1)^2}{4} + 1)}}}}$ dx = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{(\frac{x+1}{2})^2 + 1}}}}$ dx.

Stosujemy podstawienie y = ${\frac{{x+1}}{{2}}}$ , skąd dx = 2dy:

$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{(\frac{x+1}{2})^2 + 1}}}}$ dx = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{2}}{{\sqrt{y^2 + 1}}}}$ dy = $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{y^2 + 1}}}}$ dy,

a następnie omawiane podstawienie y = tg(t), dy = ${\frac{{1}}{{cos^2(t)}}}$ dt:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{y^2 + 1}}}}$ dy = $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\frac{1}{cos(t)}}}}$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{cos^2(t)}}}$ dt = $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{cos(t)}}}$ dt

i dalej rozwiązujemy w oparciu o znane metody całkowania funkcji trygonometrycznych.

Całki z funkcji zawierających wyrażenie $\sqrt{{y^2 - 1}}$ . Całki takie obliczamy stosując podstawienie:

y = $\displaystyle {\frac{{1}}{{cos(t)}}}$ .

Wówczas dy = ${\frac{{sin(t)}}{{cos^2(t)}}}$ dt oraz $\sqrt{{y^2 - 1}}$ = $\sqrt{{\frac{1}{cos^2(t)} -1}}$ = $\sqrt{{\frac{1 - cos^2(t)}{cos^2(t)}}}$ = ${\frac{{sin(t)}}{{cos(t)}}}$ .

Przykład: Obliczyć całkę:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ dx.

Oczywiście:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ dx = $\displaystyle \int$ 2 $\displaystyle \sqrt{{(\frac{x}{2})^2 - 1}}$ dx,

stosujemy więc podstawienie y = ${\frac{{x}}{{2}}}$ , skąd dx = 2dy:

$\displaystyle \int$ 2 $\displaystyle \sqrt{{(\frac{x}{2})^2 - 1}}$ dx = 4 $\displaystyle \int$ $\displaystyle \sqrt{{y^2 - 1}}$ dy

a następnie omawiane podstawienie y = ${\frac{{1}}{{cos(t)}}}$ , dy = ${\frac{{sin(t)}}{{cos^2(t)}}}$ dt:

4 $\displaystyle \int$ $\displaystyle \sqrt{{y^2 - 1}}$ dy = 4 $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{sin(t)}}{{cos(t)}}}$ $\displaystyle {\frac{{sin(t)}}{{cos^2(t)}}}$ dt

i dalej rozwiązujemy w oparciu o znane metody całkowania funkcji trygonometrycznych.

Przy obliczaniu całek omawianych typów najtrudniejszym fragmentem rozwiązania jest z reguły powrót do oryginalnej zmiennej po przeprowadzeniu wszystkich całkowań: otrzymujemy w rezultacie funkcje zmiennej t, które musimy wyrazić jako funkcje zmiennej y, przy czym y i t związane są pewnymi zależnościami trygonometrycznymi.

Omówimy ten problem na przykładzie podstawienia u = sin(t). Jeżeli chcemy wyrazić t jako funkcję u, to oczywiście t = arcsin(u). Ale jak "zgrabnie" wyrazić cos(t), sin(t), tg(t) i ctg(t) jako funkcję u? W większości przypadków pomocne jest posłużenie się odpowiednim rysunkiem:

$\includegraphics{pc3db3ho.eps}$

Oczywiście u = sin(t) i proste rachunki pozwalają sprawdzić, że:

cos(t) = $\displaystyle \sqrt{{1 - u^2}}$ , tg(t) = $\displaystyle {\frac{{u}}{{\sqrt{1 - u^2}}}}$ , ctg(t) = $\displaystyle {\frac{{\sqrt{1 - u^2}}}{{u}}}$ .

Podstawienia Eulera. Alternatywanym sposobem rozwiązywania opisywanych problemów jest zastosowanie tzw. podstawień Eulera. Podstawienia te stodujemy bezpośrednio do pierwiastków z trójmianów, nie sprowadzając ich wcześniej do postaci kanonicznej - czasami jest to pewne ułatwienie.

Jeżeli całkowana funkcja zawiera wyrażenie $\sqrt{{ax^2 + bx + c}}$ , to:

jeśli a > 0, stosujemy pierwsze podstawienie Eulera:

$\displaystyle \sqrt{{ax^2 + bx + c}}$ = t - $\displaystyle \sqrt{{a}}$ x;
jeśli c > 0, stosujemy drugie podstawienie Eulera:

$\displaystyle \sqrt{{ax^2 + bx + c}}$ = xt + $\displaystyle \sqrt{{c}}$ ;
jeśli wielomian pod pierwiastkiem ma rzeczywiste miejsca zerowe u, v, stosujemy trzecie podstawienie Eulera:

$\displaystyle \sqrt{{ax^2 + bx + c}}$ = t(x - u).

Przykład: Obliczyć całkę:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ dx.

Stosujemy pierwsze podstawienie Eulera:

$\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ = t - x $\displaystyle \Rightarrow$ x² -4 = t² -2tx + x² $\displaystyle \Rightarrow$ 2tx = 4 + t² $\displaystyle \Rightarrow$ x = $\displaystyle {\frac{{4 + t^2}}{{2t}}}$ .

Wobec tego dx = ${\frac{{2t^2 - 8}}{{4t^2}}}$ dt i otrzymujemy:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ dx= $\displaystyle \int$ (t-x) $\displaystyle {\frac{{2t^2 - 8}}{{4t^2}}}$ dt=
	=	$\displaystyle \int$ (t - $\displaystyle {\frac{{4 + t^2}}{{2t}}}$ ) $\displaystyle {\frac{{2t^2 - 8}}{{4t^2}}}$ dt = $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{{2t^4 - 16t^2 + 32}}{{8t^3}}}$ dt =
	=	$\displaystyle \int$ ( $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ t - $\displaystyle {\frac{{2}}{{t}}}$ + $\displaystyle {\frac{{4}}{{t^3}}}$ )dt = $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ t² -2ln\| t\| - $\displaystyle {\frac{{2}}{{t^2}}}$ + C =
	=	$\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ (x + $\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ )² -2ln\| x + $\displaystyle \sqrt{{x^2 - 4}}$ \| - $\displaystyle {\frac{{2}}{{(x + \sqrt{x^2 - 4})^2}}}$ + C.

Czytelnik zechce zweryfikować, że rozwiązanie to jest o wiele krótsze od poprzedniego, z zastosowaniem podstawień trygonometrycznych.

Ćwiczenia:

$\int$ ${\frac{{dx}}{{\sqrt{1 - 9x^2}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{3}}}$ arcsin(3x) + C
$\int$ ${\frac{{6x + 5}}{{\sqrt{6 + x - x^2}}}}$ dx Odpowiedź: -6 $\sqrt{{6 + x - x^2}}$ +8arcsin( ${\frac{{1}}{{5}}}$ (2x - 1)) + C
$\int$ ${\frac{{dx}}{{\sqrt{x^2 + 3x + 2}}}}$ Odpowiedź: ln| x + ${\frac{{3}}{{2}}}$ + $\sqrt{{x^2 + 3x + 2}}$ | + C
$\int$ ${\frac{{3x + 2}}{{\sqrt{x^2 - 5x + 19}}}}$ dx Odpowiedź: 3 $\sqrt{{x^2 - 5x + 19}}$ + ${\frac{{19}}{{2}}}$ ln| x - ${\frac{{5}}{{2}}}$ + $\sqrt{{x^2 - 5x + 19}}$ | + C
$\int$ ${\frac{{5x + 2}}{{\sqrt{2x^2 + 8x - 1}}}}$ dx Odpowiedź: ${\frac{{5}}{{2}}}$ $\sqrt{{2x^2 + 8x - 1}}$ -4 $\sqrt{{2}}$ ln| x + 2 + $\sqrt{{x^2 + 4x - \frac{1}{2}}}$ | + C
$\int$ $\sqrt{{3x^2 + 10x + 9}}$ dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{6}}}$ (3x + 5) $\sqrt{{3x^2 + 10x + 9}}$ + ${\frac{{1}}{{9}}}$ $\sqrt{{3}}$ ln(3x + 5 + $\sqrt{{3(3x^2 + 10x + 9)}}$ ) + C
$\int$ ${\frac{{2ax^2 + 1}}{{\sqrt{ax^2 + 2x + 1}}}}$ dx Odpowiedź: (x - ${\frac{{3}}{{a}}}$ ) $\sqrt{{ax^2 + 2x + 1}}$ + ${\frac{{3}}{{a \sqrt{a}}}}$ ln(ax + 1 + $\sqrt{{a(ax^2 + 2x + 1)}}$ ) + C
$\int$ ${\frac{{x^3 dx}}{{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{3}}}$ (x² +5x + 24) $\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$ +11ln| x - 2 + $\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$ | + C
$\int$ ${\frac{{x^3 + 5x^2 - 3x + 4}}{{\sqrt{x^2 + x + 1}}}}$ dx Odpowiedź: ( ${\frac{{1}}{{3}}}$ x² + ${\frac{{25}}{{12}}}$ x - ${\frac{{163}}{{24}}}$ ) $\sqrt{{x^2 + x + 1}}$ + ${\frac{{85}}{{16}}}$ ln| x + ${\frac{{1}}{{2}}}$ + $\sqrt{{x^2 + x + 1}}$ | + C
$\int$ ${\frac{{x^3 dx}}{{\sqrt{2x^2 + 3}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{6}}}$ (x² -3) $\sqrt{{2x^2 + 3}}$ + C

Next: Metoda współczynników nieoznaczonych Up: Rachunek całkowy Previous: Całki funkcji zawierających pierwiastki

Pawel Gladki 2006-01-30