Całki z funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci:

$$\int$$$${\frac{{W_1(x)}}{{W_2(x)}}}$$dx = $$\int$$$${\frac{{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0}}{{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_1 x + b_0}}}$$dx.

Każda całka z funkcji wymiernej jest kombinacją liniową następujących funkcji: funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji kwadratowej o ujemnym wyróżniku i arcustangensa funkcji liniowej. Przy obliczaniu całek z funkcji wymiernych postępujemy w następujący sposób:

1. Jeżeli n $\geq$ m, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest już mniejszy niż stopień mianownika (n < m). Posługujemy się przy tym algorytmem pisemnego dzielenia wielomianów
2. Jeżeli n < m, to funkcję podcałkową rozkładamy na tzw. ułamki proste, tj. na wyrażenia postaci
   ${\frac{{A}}{{(ax + b)^k}}}$ oraz ${\frac{{Bx + C}}{{(cx^2 + dx + e)^p}}}$,
   gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są stałe, przy czym d² -4ce < 0 (wyróżnik trójmianu cx² + dx + e jest ujemny), zaś k i p są liczbami naturalnymi.

Sposób rozkładania funkcji wymiernej na ułamki proste oraz obliczania całek ułamków prostych zostanie przedstawiony w przykładach

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$(ax + b)ⁿdx.

Jeżeli n jest liczbą ujemną, to zakładamy, że ax + b $\neq$ 0. Jeżeli ponadto n nie jest liczbą całkowitą, to zakładamy że ax + b > 0. Wykonujemy podstawienie ax + b = t, skąd adx = dt, czyli dx = ${\frac{{1}}{{a}}}$dt. Jeżeli n = - 1, to:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{ax + b}}}$$ = $${\frac{{1}}{{a}}}$$$$\int$$$${\frac{{dt}}{{t}}}$$ = $${\frac{{1}}{{a}}}$$ln| t| + C = $${\frac{{1}}{{a}}}$$ln| ax + b| + C.

Jeżeli n $\neq$ - 1, to:

$$\int$$(ax + b)ⁿdx = $${\frac{{1}}{{a}}}$$$$\int$$tⁿdt = $${\frac{{1}}{{a}}}$$ ^. $${\frac{{t^{n+1}}}{{n+1}}}$$ + C = $${\frac{{(ax+b)^{n+1}}}{{a(n+1)}}}$$ + C.

Przykład: Obliczyć całkę:

$\int$${\frac{{cx + d}}{{ax + b}}}$dx, a $\neq$ 0.

Zakładamy, że ax + b $\neq$ 0. Zgodnie z uwagą ogólną, dzielimy licznik przez mianownik:

$${\frac{{cx + d}}{{ax + b}}}$$ = $${\frac{{c}}{{a}}}$$ + $${\frac{{d - \frac{bc}{a}}}{{ax + b}}}$$,

a więc

$$\int$$$${\frac{{cx + d}}{{ax + b}}}$$dx = $${\frac{{c}}{{a}}}$$$$\int$$dx + (d - $${\frac{{bc}}{{a}}}$$)$$\int$$$${\frac{{dx}}{{ax + b}}}$$ = $${\frac{{c}}{{a}}}$$x + $${\frac{{ad - bc}}{{a^2}}}$$ln| ax + b| + C.

Dalsze rozważania będą dotyczyły metod obliczania całek typu:

$\int$${\frac{{mx + n}}{{ax^2 + bx + c}}}$, a $\neq$ 0.

W pierwszej kolejności zawsze sprawdzamy, czy licznik nie jest pochodną mianownika (lub czy licznik nie jest proporcjonalny do pochodnej mianownika). Wówczas wynik dostajemy natychmiast posługując się wzorem:

$$\int$$$${\frac{{f'(x)}}{{a \cdot f(x)}}}$$dx = $${\frac{{1}}{{a}}}$$ln| f (x)| + C.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{x-3}}{{x^2 - 6x + 5}}}$$dx.

Zauważmy, że (x² - 6x + 5)' = 2x - 6 = 2(x - 3), a więc pochodna mianownika jest proporcjonalna do licznika. Zatem:

$$\int$$$${\frac{{x-3}}{{x^2 - 6x + 5}}}$$dx = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$${\frac{{2x-6}}{{x^2 - 6x + 5}}}$$dx = $${\frac{{1}}{{2}}}$$ln| x² - 6x + 5| + C.

Jeżeli licznik nie jest pochodną mianownika ani nie jest do niej proporcjonalny, to sposób obliczania omawianych całek zależy od wyróżnika $\Delta$ = b² - 4ac trójmianu kwadratowego występującego w mianowniku funkcji podcałkowej. Rozróżniamy trzy przypadki.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{2x^2 + 9x - 5}}}$$.

Wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianowniku równy jest $\Delta$ = 11² > 0, tak więc mianownik ma dwa pierwiastki -5 i ${\frac{{1}}{{2}}}$, a więc:

2x² +9x - 5 = 2(x - $${\frac{{1}}{{2}}}$$)(x + 5) = (2x - 1)(x + 5).

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:

$${\frac{{1}}{{2x^2 + 9x - 5}}}$$ = $${\frac{{A}}{{2x - 1}}}$$ + $${\frac{{B}}{{x+5}}}$$.

Sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika i porównując liczniki otrzymujemy:

1 = A(x + 5) + B(2x - 1) = (A + 2B)x + (5A - B).

Przyrównujemy współczynniki przy równych potęgach x po obu stronach i dostajemy:

A + 2B = 0 oraz 5A - B = 1.

Ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, które znajdujemy jednym ze znanych sposobów dostając A = ${\frac{{2}}{{11}}}$ i B = - ${\frac{{1}}{{11}}}$. Tym samym uzyskaliśmy następujący rozkład:

$${\frac{{1}}{{2x^2 + 9x - 5}}}$$ = $${\frac{{\frac{2}{11}}}{{2x - 1}}}$$ - $${\frac{{\frac{1}{11}}}{{x + 5}}}$$.

Całkujemy obie strony tożsamości i po prawej stronie wynosimy czynniki stałe przed całki:

$$\int {\frac{{1}}{{2x^2 + 9x - 5}}} {\frac{{2}}{{11}}} \int {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} {\frac{{1}}{{11}}} \int {\frac{{dx}}{{x + 5}}}$$

$${\frac{{2}}{{11}}} {\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{1}}{{11}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{11}}} {\frac{{1}}{{11}}} {\frac{{1}}{{11}}} {\frac{{2x - 1}}{{x+5}}}$$ =

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{9x^2 - 12x + 4}}}$$.

Wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianowniku równy jest $\Delta$ = 0, tak więc mianownik jest kwadratem zupełnym:

9x² -12x + 4 = (3x - 2)².

Na podstawie jednego z wcześniejszych przykładów obliczamy:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{9x^2 - 12x + 4}}}$$ = $$\int$$$${\frac{{dx}}{{(3x - 2)^2}}}$$ = $$\int$$(3x - 2)^-2dx = $${\frac{{(3x-2)^{-1}}}{{(-1)3}}}$$ + C.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{9x - 5}}{{9x^2 - 6x + 1}}}$$dx.

Wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianowniku równy jest $\Delta$ = 0, tak więc mianownik jest kwadratem zupełnym:

9x² -6x + 1 = (3x - 1)².

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:

$${\frac{{9x - 5}}{{9x^2 - 6x + 1}}}$$ = $${\frac{{A}}{{(3x-1)^2}}}$$ + $${\frac{{B}}{{3x-1}}}$$.

Postępując podobnie jak w poprzednik przykładzie (a więc sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika, porównując liczniki, przyrównując w licznikach wyrażenia przy takich samych potęgach x'a i rozwiązując odpowiedni układ równań) dostajemy:

$${\frac{{9x - 5}}{{9x^2 - 6x + 1}}}$$ = $${\frac{{-2}}{{(3x-1)^2}}}$$ + $${\frac{{3}}{{3x - 1}}}$$.

Całkujemy obie strony tożsamości i po prawej stronie wynosimy czynniki stałe przed całki:

$$\int {\frac{{9x - 5}}{{9x^2 - 6x + 1}}} \int {\frac{{1}}{{(3x-1)^2}}} \int {\frac{{1}}{{3x - 1}}}$$

$${\frac{{-1}}{{3(3x-1)}}} {\frac{{1}}{{3}}}$$ =

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{2x^2 - 12x + 27}}}$$.

Wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianowniku równy jest $\Delta$ = - 72 = 0, tak więc mianownik sprowadzamy do postaci kanonicznej trójmianu:

2x² -12x + 27 = 2(x - $${\frac{{12}}{{2 \cdot 2}}}$$)² + $${\frac{{72}}{{2 \cdot 2}}}$$ = 2(x - 3)² + 9.

Tak więc:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{2x^2 - 12x + 27}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$${\frac{{dx}}{{(x - 3)^2 + \frac{9}{2}}}}$$.

Wykonujemy podstawienie:

x - 3 = $\sqrt{{\frac{9}{2}}}$, skąd dx = $\sqrt{{\frac{9}{2}}}$dt.

Zatem:

$${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$${\frac{{dx}}{{(x - 3)^2 + \frac{9}{2}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$cot$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{9}{2}}}}}$$$$\int$$$${\frac{{\frac{9}{2} dt}}{{\frac{9}{2}t^2 + \frac{9}{2}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{9}{2}}}}}$$arctg($${\frac{{x-3}}{{\sqrt{\frac{9}{2}}}}}$$) + C.

W ten sposób zakończyliśmy badanie całek typu $\int$${\frac{{mx + n}}{{ax^2 + bx + c}}}$, rozpatrując wszystkie możliwe przypadki w zależności od znaku wyróżnika mianownika. Przechodzimy teraz do obliczania całek funkcji wymiernych, których mianowniki są wielomianami wyższego stopnia. Kluczowe znaczenie będzie dla nas miała metoda rozkładania funkcji podcałkowej na ułamki proste - poznaliśmy ją już na kilku wybranych przykładach, obecnie skupimy się na jej sformalizowaniu.

Rozważmy dowolną funkcję wymierną ${\frac{{W_1(x)}}{{W_2(x)}}}$, dla której deg W₁(x) < deg W₂(x). Rozkładamy wielomian W₂(x) na iloczyn wielomianów nierozkładalnych (jak wiadomo, będą to wielomiany liniowe lub trójmiany kwadratowe o ujemnych wyróżnikach - lub ich potęgi). Postępujemy zgodnie z następującymi trzema zasadami:

1. Dla każdego czynnika postaci (ax + b)ⁿ w rozkładzie W₂(x) do rozkładu na ułamki proste bierzemy następujące składniki:
   $${\frac{{A_1}}{{ax + b}}}$$ + $${\frac{{A_2}}{{(ax + b)^2}}}$$ +...+ $${\frac{{A_n}}{{(ax + b)^n}}}$$.

2. Dla każdego czynnika postaci (ax² + bx + c)ⁿ, gdzie ax² + bx + c jest trójmianem o ujemnym wyróżniku, do rozkładu na ułamki proste bierzemy następujące składniki:
   $${\frac{{B_1 x + C_1}}{{ax^2 + bx + c}}}$$ + $${\frac{{B_2 x + C_2}}{{(ax^2 + bx + c)^2}}}$$ +...+ $${\frac{{B_n x + C_n}}{{(ax^2 + bx + c)^n}}}$$.

3. Suma ułamków prostych występująca w poszukiwanym rozkładzie jest sumą składników otrzymanych w poprzednich dwóch punktach.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{x^2 - 2x - 7}}{{(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 5)}}}$$dx.

Rozkładamy mianownik na czynniki nierozkładalne, otrzymując po nietrudnych rachunkach:

(x² -2x + 1)(x² +2x + 5) = (x - 1)²(x² + 2x + 5).

Stosując powyższe uwagi o rozkładzie na ułamki proste, szukamy rozkładu w postaci:

$${\frac{{x^2 - 2x - 7}}{{(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 5)}}}$$ = $${\frac{{A}}{{(x-1)^2}}}$$ + $${\frac{{B}}{{x-1}}}$$ + $${\frac{{Cx + D}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$.

Postępując podobnie jak w poprzednik przykładzie dostajemy:

$${\frac{{x^2 - 2x - 7}}{{(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 5)}}}$$ = $${\frac{{-1}}{{(x-1)^2}}}$$ + $${\frac{{\frac{1}{2}}}{{x-1}}}$$ + $${\frac{{-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$.

Całkujemy:

$$\int$$$${\frac{{x^2 - 2x - 7}}{{(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 5)}}}$$dx = - $$\int$$$${\frac{{1}}{{(x-1)^2}}}$$dx + $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$${\frac{{1}}{{x-1}}}$$dx - $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$${\frac{{x-1}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$dx.

Obliczenie pierwszych dwóch całek po prawej stronie nie nastręcza problemu, skupmy się więc na ostatniej całce:

$$\int$$$${\frac{{x-1}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$dx.

Zastosujemy następującą sztuczkę: dzielimy licznik przez pochodną mianownika i otrzymujemy:

x - 1 = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(2x + 2) - 2,

skąd:

$$\int$$$${\frac{{x-1}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$dx = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\int$$$${\frac{{2x + 2}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$dx - 2$$\int$$$${\frac{{dx}}{{x^2 + 2x + 5}}}$$.

Obliczenie całek występujących po prawej stronie jest już proste - stosowne metody zostały omówione wcześniej.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{(x^2 + 1)^n}}}$$.

Oznaczmy przez I_n = $\int$${\frac{{dx}}{{(x^2 + 1)^n}}}$. Wyprowadzimy wzór rekurencyjny na I_n. Mamy oczywiście:

I_n = $$\int$$$${\frac{{x^2 + 1 - x^2}}{{(x^2 + 1)^n}}}$$dx = I_n-1 - $$\int$$$${\frac{{x^2 dx}}{{(x^2 + 1)^n}}}$$

i wystarczy obliczyć drugą całkę występującą po prawej stronie równości. Mamy:

$$\int$$$${\frac{{x^2 dx}}{{(x^2 + 1)^n}}}$$ = $$\int$$x ^. $${\frac{{x dx}}{{(x^2 + 1)^n}}}$$,

skąd całkujemy przez części przyjmując:

u(x) = x, v'(x) = ${\frac{{x}}{{(x^2 + 1)^n}}}$ skąd u'(x) = 1, v(x) = $\int$${\frac{{x}}{{(x^2 + 1)^n}}}$dx = - ${\frac{{1}}{{2(n-1)(x^2 + 1)^{n-1}}}}$.

Otrzymujemy:

$$\int {\frac{{x^2 dx}}{{(x^2 + 1)^n}}} {\frac{{-x}}{{(2n-2)(x^2+1)^{n-1}}}} \int {\frac{{dx}}{{(2n-2)(x^2 + 1)^{n-1}}}}$$

$${\frac{{-1}}{{2n-2}}} {\frac{{x}}{{(x^2 + 1)^{n-1}}}} {\frac{{1}}{{2n-2}}}$$ =

Podstawiając do wcześniejszej równości dostajemy

I_n = I_n-1 + $${\frac{{1}}{{2n-2}}}$$ ^. $${\frac{{x}}{{(x^2 + 1)^{n-1}}}}$$ - $${\frac{{1}}{{2n-2}}}$$I_n-1

czyli

I_n = $${\frac{{1}}{{2n-2}}}$$ ^. $${\frac{{x}}{{(x^2 + 1)^{n-1}}}}$$ + $${\frac{{2n-3}}{{2n-2}}}$$I_n-1.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{(x^2 - 4x + 13)^2}}}$$.

Stwierdzamy, że wyróżnik mianownika jest ujemny, całki tej nie potrafimy rozwiązać poznanymi dotąd metodami. Zastosujemy następującą sztuczkę: sprowadzamy mianownik funkcji podcałkowej do postaci kanonicznej:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{((x-2)^2 + 9)^2}}}$$

i wykonujemy podstawienie x - 2 = $\sqrt{{9}}$t, skąd dx = 3dt. Podstawiając mamy:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{(x^2 - 4x + 13)^2}}}$$ = $$\int$$$${\frac{{3dt}}{{(9t^2 + 9)}}}$$ = $${\frac{{1}}{{27}}}$$$$\int$$$${\frac{{dt}}{{(t^2 + 1)^2}}}$$.

Ostatnią występująca w tym wzorze całkę obliczamy stosując wzór rekurencyjny z poprzedniego przykładu.

Czytelnik zweryfikuje, że stosując opisane w powyższych przykładach metody jesteśmy w stanie obliczyć każdą całkę z funkcji wymiernej.

Ćwiczenia:

1. $\int$${\frac{{1}}{{y^3 + 3y^2 + 3y + 1}}}$dy Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{2}}}$(y + 1)^-2 + C
2. $\int$${\frac{{x^2 + 2x - 4}}{{x^2 - 2x - 8}}}$dx Odpowiedź: x + ${\frac{{10}}{{3}}}$ln| x - 4| + ${\frac{{2}}{{3}}}$ln| x + 2| + C
3. $\int$${\frac{{y+1}}{{y^3 + y^2 - 6y}}}$dy Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{6}}}$ln| y| - ${\frac{{2}}{{15}}}$ln| y + 3| + ${\frac{{3}}{{10}}}$ln| y - 2| + C
4. $\int$${\frac{{x^3}}{{(x^2 + 2)^2}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{2}}}$ln(x² +2) + ${\frac{{1}}{{x^2 + 2}}}$ + C
5. $\int$${\frac{{y^2}}{{y^2 + 3y + 2}}}$dy Odpowiedź: y - 4 ln| y + 2| + ln| y + 1| + C
6. $\int$${\frac{{y^2 + 6y + 4}}{{y^4 + 5y^2 + 4}}}$dy Odpowiedź: ln(y² +1) + arctg(y) - ln(y² + 4) + C
7. $\int$${\frac{{x^2 + 3}}{{x^4 + x^2 - 2}}}$dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{3\sqrt{2}}}}$arctg(${\frac{{x}}{{\sqrt{2}}}}$) + ${\frac{{2}}{{3}}}$ln|${\frac{{x-1}}{{x+1}}}$| + C
8. $\int$${\frac{{1}}{{x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x + 1}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{4}}}$ln| x + 1| - ${\frac{{1}}{{8}}}$ln(x² +1) + ${\frac{{1}}{{2}}}$qrctg(x) + ${\frac{{1}}{{4}}}$ ^. ${\frac{{x+1}}{{x^2 + 1}}}$ + C
9. $\int$${\frac{{1}}{{1 + x^3}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{3}}}$ln| x + 1| + ${\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}}$arctg(${\frac{{2x-1}}{{\sqrt{3}}}}$) - ${\frac{{1}}{{6}}}$ln(x² - x + 1) + C
10. $\int$${\frac{{x^4 + 8x^3 - x^2 + 2x + 1}}{{x^5 + x^4 + x^2 + x}}}$ Odpowiedź: ln| x| + ln(x² - x + 1) - 2 ln| x + 1| - ${\frac{{3}}{{x+1}}}$ + ${\frac{{2}}{{\sqrt{3}}}}$arctg(${\frac{{2x-1}}{{\sqrt{3}}}}$) + C

Dodatkowe ćwiczenia