Wielomian jednej zmiennej

Potęga o wykładniku 0. Określamy:

a⁰ = 1

dla każdego a $\neq$ 0. Na przykład:

1⁰ = 1, 3⁰ = 1, ($\sqrt{{5}}$)⁰ = 1, (- 4)⁰ = 1, $\pi^{0}_{}$ = 1.

Symbolu 0⁰ nie określamy. Dla potęgi o całkowitym i nieujemnym wykładniku prawdziwe są znane wzory określające własności działań na potęgach.

Jednomian stopnia n jednej zmiennej X jest to wyrażenie postaci:

aXⁿ,

przy czym n $\geq$ 0 oznacza liczbę całkowitą, zaś a $\neq$ 0. Wartością jednomianu aXⁿ w punkcie x nazywamy wartość liczbową axⁿ. Dla n = 0 jednomian jest postaci aX⁰, więc dla każdego x $\neq$ 0 ma wartość a, natomiast dla x = 0 nie jest określony. Funkcją jednomianową nazywamy funkcję przyporządkowującą danej liczbie x wartość jednomianu aXⁿ w punkcie x, czyli axⁿ. Dziedzinę funkcji jednomianowej y = ax⁰ rozszerzamy, nadając jej w punkcie x = 0 wartość y = a. Tym samym funkcja jednomianowa y = ax⁰ jest określona dla x $\in$ $\mathbb {R}$ i ma stała wartość a.

Liczbę a nazywamy współczynnikiem jednomianu aXⁿ. Jednomian 0 nazywamy jednomianem zerowym, ten jednomian nie ma określonego stopnia. Dwa jednomiany tej samej zmiennej X nazywamy podobnymi, jeżeli są tego samego stopnia. Jednomian zerowy jest podobny do każdego jednomianu. Jednomianu podobne można redukować zastępując ich sumę jednomianem, którego współczynnik równy jest sumie współczynników redukowanych jednomianów, na przykład 4X³ +7X³ = 11X³. Suma jednomianów podobnych jest jednomianem do nich podobnym (w szczególności może być to jednomian zerowy).

Jednomiany niezerowe można też przez siebie mnożyć, uzyskując w rezultacie jednomian, którego współczynnik równy jest iloczynowi współczynników mnożonych jednomianów, a stopień - sumie stopni mnożonych jednomianów, na przykład 4X^{3 .} 7X⁵ = 28X⁸. Iloczyn dowolnego jednomianu przez jednomian zerowy definiujemy jako jednomian zerowy.

Wielomian stopnia n jednej zmiennej X jest to suma jednomianów stopnia nie wyższego od n:

W(X) = a_nXⁿ + a_n-1X^n-1 +...+ a₁X + a₀,

przy czym n $\in$ $\mathbb {N}$sup{0}, a₀, a₁,..., a_n $\in$ $\mathbb {R}$ oraz a_n $\neq$ 0. Jednomiany składowe wielomianu W(X) (a więc a_nXⁿ, a_n-1X^n-1,..., a₁X, a₀) nazywamy wyrazami wielomianu. Liczby a₀, a₁,..., a_n nazywamy współczynnikami wielomianu, a liczbę a₀ wyrazem wolnym. Wartością wielomianu W(X) w punkcie x nazywamy sumę wartości składowych jednomianów i oznaczamy przez W(x). Funkcję przyporządkowującą danej liczbie x wartość wielomianu W(x) nazwiemy funkcją wielomianową.

Wielomian jest zredukowany, jeżeli nie występuja w nim dwa wielomiany tego samego stopnia i jeżeli jego wyrazy uporządkowane są według malejącego stopnia.

Dla danego wielomianu W(X) każdą liczbę a taką, że W(a) = 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu. Zamiast pierwiastek mówimy też miejsce zerowe.

Równość wielomianów. Wielomiany A(X) oraz B(X) są równe, jeżeli są zerowe, lub jeżeli są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy jednomianach składowych tego samego stopnia. Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich funkcje wielomianowe, tzn. gdy dla każdej liczby a mamy A(a) = B(a).

Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Do wielomianu A(X) można dodać wielomian B(X) dodając do siebie jednomiany składowe o tych samych stopniach. Jeżeli wielomiany A(X), B(X) oraz A(X) + B(X) nie są zerowe, to stopnień sumy jest nie większy od stopni składników:

deg(A(X) + B(X)) $\leq$ deg A(X) oraz deg(A(X) + B(X)) $\leq$ deg B(X).

Podobnie można odjąć od siebie wielomiany; o ile A(X), B(X) oraz A(X) + B(X) nie są zerowe, to:

deg(A(X) - B(X)) $\leq$ deg A(X) oraz deg(A(X) - B(X)) $\leq$ deg B(X).

Mnożenie wielomianów. Wieomian A(X) można pomnożyć przez wielomian B(X) mnożąc przez siebie każdy jednomian składowy wielomianu A(X) przez każdy jednomian składowy wielomianu B(X), a następnie redukując otrzymane jednomiany i porządkując je według stopni. Dowolny wielomian pomnożony przez wielomian zerowy daje jako wynik wielomian zerowy. Jeżeli A(X) oraz B(X) są wielomianami niezerowymi, to wtedy stopień iloczynu tych wielomianów równy jest sumie stopni składników:

deg(A(X) ^. B(X)) = deg A(X) + deg B(X)

Iloczyn czynników liniowych. Wielomiany stopnia 1 nazywamy wielomianami liniowymi. Ważnym przypadkiem mnożenia wielomianów jest mnożenie n wielomianów liniowych:

X - x₁, X - x₂,..., X - x_n.

gdzie X jest zmienną a x₁,..., x_n danymi liczbami. Iloczyn

W(X) = (X - x₁) ^. (X - x₂) ^. ... ^. (X - x_n)

jest wielomianem stopnia n. Łatwo zauważamy, że liczby x₁, x₂,..., x_n są pierwiastkami tego wielomianu.

Dzielenie wielomianów. Niech W(X) i P(X) będą danymi wielomianami. Jeżeli istnieje dokładnie jeden taki wielomian Q(X), że spełniona jest równość

W(X) = Q(X) ^. P(X)

to wielomian Q(X) nazywamy ilorazem wielomianu W(X) przez wielomian P(X), co oznaczamy symbolicznie pisząc:

W(X) : P(X) = Q(X) lub ${\frac{{W(X)}}{{P(X)}}}$ = Q(X).

Wielomian P(X) spełniający powyższy warunek nazywamy dzielnikiem wielomianu W(X). Ponieważ żądamy, aby iloraz Q(X) był określony jednoznacznie, więc podzielnik nie może być wielomianem zerowym.

Jeżeli W(X) $\equiv$ 0, to każdy wielomian P(X) $\nequiv$ 0 jest dzielnikiem wielomianu W(X), przy czym iloraz jest wielomianem zerowym.

Jeżeli W(X) $\nequiv$ 0, to warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym!) podzielności W(X) przez P(X) jest:

deg P(X) $$\leq$$ deg W(X).

Dzielenie wielomianów nie zawsze jest więc wykonalne. Prawdziwe jest natomiast następujące twierdzenie:

Twierdzenie (o dzieleniu wielomianów z resztą): Jeżeli W(X) oraz P(X) są wielomianami oraz P(X) $\nequiv$ 0, to istnieją takie dwa wielomiany Q(X) i R(X), że:

W(X) = Q(X) ^. P(X) + R(X)

przy czym R(X) $\equiv$ 0 albo deg R(X) < deg P(X).

Dowód twierdzenia pomijamy. Przypomnijmy na przykładach sposób dzielenia wielomianów z resztą.

Przykład: Podzielić wielomian 2X³ - X² + 2X - 3 przez wielomian X - 1.

2X2	+	X	+	3
2X3	-	X2	+	2X	-	3	: (X - 1)
2X3	-	2X2
		X2	+	2X	-	3
		X2	-	X
				3X	-	3
				3X	-	3
						0

Co się dzieje na powyższym obrazku? Najwyższy stopniem wyraz dzielnej, a więc 2X³ dzielimy przez najwyższy stopniem wyraz dzielnika, to znaczy przez X, 2X³ : X = 2X². Otrzymany jednomian 2X² jest pierwszym składnikiem szukanego ilorazu. Mnożymy następnie 2X² przez dzielnik (X - 1), a więc 2X^{2 .} (X - 1). Otrzymany iloczyn 2X³ -2X² zapisujemy pod dzielną i odejmujemy od niej. Otrzymamy X² + 2X - 3; wielomian ten nazywamy pierwszą resztą. Najwyższy stopniem wyraz pierwszej reszty, czyli X², dzielimy przez najwyższy stopniem wyraz dzielnika, a więc przez X, X² : X = X. Otrzymany iloraz X jest drugim składnikiem szukanego w przykładzie ilorazu. Mnożymy następnie ten drugi składnik przez dzielnik, X ^. (X - 1). Otrzymany iloczyn X² - X zapisujemy pod pierwszą resztą i odejmujemy od niej. Otrzymamy 3X - 3, tak zwaną drugą resztę. Najwyższy stopniem wyraz drugiej reszty, a więc 3X, dzielimy przez najwyższy stopniem wyraz dzielnika, 3X : X = 3. Liczba 3 jest trzecim składnikiem szukanego ilorazu. Mnożymy następnie ten trzeci składnik przez dzielnik, 3(X - 1) = 3X - 3 i odejmujemy od reszty. Ponieważ trzecia reszta jest równa 0, więc dzielenie zostało zakończone.

Wynik zapisujemy jako:

2X³ - X² +2X - 3 = (2X² + X + 3) ^. (X - 1).

Tak więc w tym przykładzie reszta z dzielenia wyniosła zero. Oczywiście może zdarzyć się inaczej.

Przykład: Podzielić wielomian X³ + 2X + 1 przez wielomian X² + 1.

X
X3	+	2X	+	1	: (X2 + 1)
X3	+	X
		X	+	1

Ponieważ pierwsza reszta jest wielomianem niższego stopnia niż dzielnik, więc algorytm nie może być kontynuowany i nie można podzielić najwyższego stopniem wyrazu pierwszej reszty przez najwyższy stopniem wyraz dzielnika. Zatem X² + 1 nie jest dzielnikiem wielomianu X³ + 2X + 1.

Wynik zapisujemy jako:

X³ +2X + 1 = X ^. (X² + 1) + (X + 1).

Ogólne rozważania o algebrze wielomianów i o ich dzieleniu zakończymy jeszcze jednym twierdzeniem:

Twierdzenie Bézout: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(X) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(X) jest podzielny przez dwumian X - a.

Dowód: Jeżeli wielomian W(X) jest podzielny przez dwumian X - a, to istnieje taki wielomian Q(X), że

W(X) = Q(X) ^. (X - a).

Stąd W(a) = Q(a) ^. (a - a) = Q(a) ^. 0 = 0, więc liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(X).

Na odwrót, jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(X), to W(a) = 0, przy czym na podstawie twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą istnieje taki wielomian Q(X) i taka stała R, że:

W(X) = Q(X) ^. (X - a) + R.

Stąd 0 = W(a) = Q(a) ^. (a - a) + R, czyli R = 0. Z uwagi na powyższą równość mamy więc W(X) = Q(X) ^. (X - a). To oznacza, że dwumian X - a jest dzielnikiem wielomianu W(X).

Stosując analogiczne rozumowanie łatwo udowodnić następujące:

Twierdzenie: Wielomian W(X) daje przy dzieleniu przez dwumian X - a resztę W(a).

Twierdzenie Bézout można uogólnić w następujący sposób:

Twierdzenie (o iloczynie podzielników): Jeżeli wielomian W(X) jest podzielny przez każdy z dwumianów

X - x₁, X - x₂, ..., X - x_n

przy czym liczby x₁, x₂,..., x_n są różne, to jest także podzielny przez iloczyn:

(X - x₁)(X - x₂)...(X - x_n).

Dowód tego twierdzenia pomijamy.