next up previous
Next: Niewymierność liczby Up: Liczby rzeczywiste Previous: Liczba e

Niewymierność pierwiastków z liczb pierwszych

Jak udowodnić, że pierwiastki z 2, 3, 5 lub, ogólniej, z dowolnej liczby pierwszej są liczbami niewymiernymi? Niech p będzie liczbą pierwszą (tzn. jeśli p jest dzielnikiem iloczynu a . b, to p dzieli co najmniej jeden z czynników - a lub b). Co by było, gdyby x = $ \sqrt{{p}}$ było liczbą wymierną? Można by było zapisać x jako ułamek nieskracalny:

x = $\displaystyle {\frac{{m}}{{n}}}$

z naturalnymi n, m. Z określenia liczby x wynika, że x2 = p, czyli

$\displaystyle {\frac{{m^2}}{{n^2}}}$ = 2

czyli

m2 = p . n2.

Jak widać, liczba m2 dzieli się przez p, ale jest iloczynem: m2 = m . m, więc jeden z czynników (m albo m albo oba na raz :-) ) musi się dzielić przez p. Niech m = k . p. Wstawiamy tę wartość do wyprowadzonej równości:

(pk)2 = pn2

skąd

(p2) . (k2) = pn2,

dzielimy obustronnie przez p:

p . k2 = n2

i okazuje się - na tej samej zasadzie, co w przypadku m - że n dzieli się przez p. To oznacza, że i licznik, i mianownik nieskracalnego ułamka m/n dzielą się przez p - czyli ułamek jest skracalny. Z zalożeń wywnioskowaliśmy zdanie sprzeczne z założeniami. Obliczenia są w porządku, więc sprzeczność bierze się z założenia, że x można zapisać jako ułamek nieskracalny - czyli z założenia, że x jest liczbą wymierną.

Ten dowód dla p = 2 przypisywany jest Pitagorasowi.


next up previous
Next: Niewymierność liczby Up: Liczby rzeczywiste Previous: Liczba e
Pawel Gladki 2006-01-30