Liczba e

Liczbę e (tj. liczbę Eulera) można określić jako granicę pewnego ciągu liczbowego. Otóż można udowodnię, że ciąg o wyrazie ogólnym

$$\left(\vphantom{ 1 + \frac{1}{n} }\right.$$1 + $${\frac{{1}}{{n}}}$$$$\left.\vphantom{ 1 + \frac{1}{n} }\right)^{n}_{}$$

jest rosnący i ograniczony z góry, a więc ma granicę (Twierdzenie: Każdy ciąg liczbowy rosnący i ograniczony z góry ma granicę) - dowód ten zwykle poznaje się na pierwszym kursie analizy i znaleźć go można w prawie każdym podręczniku, na przykład W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, str. 41. Ją właśnie oznaczamy przez e. Symbol ten wprowadził w 1736 roku L. Euler (1707-1783).

Liczba e jest niewymierna; jej niewymierność wykazał J. H. Lambert (1728-1777) w 1766 r. Podamy prosty dowód J. Fouriera (1768-1830) z 1815 roku - wykorzystamy rozwinięcie liczby e w szereg:

$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{1}}{{n!}}}$$.

Załóżmy nie wprost, że e = ${\frac{{a}}{{b}}}$, NWD(a, b) = 1, a, b - naturalne. Niech N $\geq$ b. Oznaczmy:

$$\alpha$$ = N!(e - 1 - $${\frac{{1}}{{1!}}}$$ - $${\frac{{1}}{{2!}}}$$ -...- $${\frac{{1}}{{N!}}}$$).

Zauważmy, że b dzieli N! i że $\alpha$ jest liczbą naturalną. Z drugiej strony:

$$\alpha {\frac{{1}}{{(N+1)!}}} {\frac{{1}}{{(N+2)!}}}$$ 0 <

$${\frac{{1}}{{N+1}}} {\frac{{1}}{{(N+1)(N+2)}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{N+1}}} {\frac{{1}}{{(N+1)^2}}} {\frac{{1}}{{N}}}$$ <

jako suma ciągu geometrycznego. Otrzymaliśmy sprzeczność: $\alpha$ jest liczbą naturalną i zarazem:

$$\alpha$$ < $${\frac{{1}}{{N}}}$$ < 1.

Liczba e ma wartość przybliżoną ok. 2.718281828459 - została ona podana w 1728 roku przez Daniela Bernoulli (1700-1782). Przybliżoną wartość liczby e moźna obliczyć z dowolną dokładnościa według wzoru

e $$\approx$$ 1 + $${\frac{{1}}{{1!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{2!}}}$$ +...+ $${\frac{{1}}{{n!}}}$$

Błąd bezwzględny tego przybliżenia nie przekracza liczby 3/n!. Na przykład aby obliczyć e z dokładnością do 0,0001 musimy wziąć n = 8 (jest to najmniejsza liczba naturalna n, dla której 3/n! < 0.0001) i obliczyć sumę:

1 + $${\frac{{1}}{{1!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{2!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{3!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{4!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{5!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{6!}}}$$ + $${\frac{{1}}{{7!}}}$$ = $${\frac{{685}}{{252}}}$$.

Ogólniej, znany jest wzór:

e^x = 1 + $${\frac{{x}}{{1!}}}$$ + $${\frac{{x^2}}{{2!}}}$$ + $${\frac{{x^3}}{{3!}}}$$ +...

Ponieważ 0! = 1, więc powyższe można zapisać jako:

e^x = $$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{x^n}}{{n!}}}$$

- jest to rozwinięcie funkcji wykładniczej f (x) = e^x w tzw. szereg Maclaurina (C. Maclaurin, 1698-1746).

Czasami stosuje się oznaczenie e^x = exp(x) (exponent to po angielsku wykładnik, po łacinie wykładnik to exponens, exponentis). Funkcja wykładnicza f (x) = e^x ma pochodną równa sobie samej, tzn. f'(x) = e^x - to również fakt znany z podręczników, zob. np. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, str. 150.

Jest też e liczbą przestepną, tzn. nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Przestępność liczby e wykazał Ch. Hermite (1822-1901) w roku 1873 (Ch. Hermite, Sur la fonction exponentielle, C.R. Acad. Sci. (Paris), 1873, 77, strony: 18-24, 74-79, 226-233, 285-293). Przytoczymy prosty dowód tego faktu pochodzący od Hurwitza z 1892 roku.

Przypuśćmy nie wprost, że e jest liczbą algebraiczną, a więc że istnieją liczby całkowite i względnie pierwsze C₀,..., C_n takie, że:

C_neⁿ +...+ C₁e + C₀ = 0.

Niech p będzie liczbą pierwszą większą zarówno od C₀ jak i od n. Zdefiniujmy wielomian f wzorem:

f (x) = $${\frac{{1}}{{(p-1)!}}}$$x^p-1(1 - x)^p(2 - x)^p...(n - x)^p.

Ponieważ zero jest p - 1-krotnym pierwiastkiem f, więc

f^(s)(0) = 0

dla s = 0, 1,..., p - 2. Podobnie, ponieważ każda z liczb k ( k = 1, 2,..., n) jest p-krotnym pierwiastkiem f, więc:

f^(s)(k) = 0

dla s = 0, 1,..., p - 1, k = 0, 1,..., n. Ponadto:

f^(p-1)(0) = (n!)^p.

Jasne jest, że współczynniki s-tej pochodnej wielomianu o całkowitych współczynnikach są podzielne przez s!, a więc w szczególności współczynniki pochodnej rzędu s wielomianu:

x^p-1(1 - x)^p(2 - x)^p...(n - x)^p

są podzielne przez s!. Stąd wynika, że f^(s)(x) ma dla s $\geq$ p współczynniki całkowite, podzielne przez p. Niech teraz:

F(x) = f (x) + f'(x) + f''(x) +...+ f (N)(x)

gdzie N = deg f. Zatem:

F(0) jest całkowite i niepodzielne przez p

oraz

F(k) jest całkowite i podzielne przez p dla k = 1, 2,..., n.

Istotnie, mamy N = np + p - 1. Wówczas:

F(0) = $$\sum_{{s=0}}^{N}$$f^(s)(0) = $$\sum_{{s = p-1}}^{N}$$f^(s)(0) = f^(p-1) + $$\sum_{{s = p}}^{N}$$f^(s)(0) = (n!)^p + pA

gdzie A jest pewną liczbą całkowitą (każdy składnik sumy jest podzielny przez p), co dowodzi pierwszej równości. Dla dowodu drugiej zauważmy, że:

F(k) = $$\sum_{{s=0}}^{N}$$f^(s)(k) = $$\sum_{{s = p}}^{N}$$f^(s)(k)

jest podzielne przez p, gdyż każdy składnik sumy jest podzielny przez p.

Zauważmy, że (e^-xF(x))' = e^-xf (x). Niech $\phi$(x) = e^-xF(x). Wówczas - wobec tw. Lagrange'a o wartości średniej zastosowanego do przedziału [0, x] stwierdzamy, że istnieje liczba 0 < $\zeta$ < 1 taka, że:

e^-xF(x) - F(0) = - xe^-$\zeta$xf ($$\zeta$$x)

tzn.

F(x) - e^xF(0) = - xe^(1-$\zeta$)xf ($$\zeta$$x).

W równości tej podstawmy x = 1, 2,..., n. Otrzymujemy:

F(1) - eF(0)	=	$$\epsilon_{1}^{}$$
F(2) - e2F(0)	=	$$\epsilon_{2}^{}$$
	$$\vdots$$
F(n) - enF(0)	=	$$\epsilon_{n}^{}$$

gdzie $\epsilon_{k}^{}$ = - ke^{(1-$\zeta_{k}$)k}f ($\zeta_{k}^{}$k) dla k = 1, 2,..., n. Mnożąc pierwsze z powyższych równań przez C₁, drugie przez C₂ itd. n-te przez C_n i dodając stronami otrzymujemy - w myśl naszego założenia:

C₀F(0) + C₁F(1) +...+ C_nF(n) = C₁$$\epsilon_{1}^{}$$ +...+ C_n$$\epsilon_{n}^{}$$.

Lewa strona powyższego jest liczbą całkowitą różną od zera: p > C₀, p nie dzieli F(0) i dzieli pozostałe sładniki. Natomiast prawa strona dąży do zera wraz z p dążącym do nieskończoności. Rzeczywiście, C_k jest stałe i nie zależy od p, zaś:

$$\epsilon_{k}^{} \zeta_{k} \zeta_{k}^{}$$ =

$$\zeta_{k} {\frac{{1}}{{(p-1)!}}} \zeta_{k}^{} \zeta_{k}^{} \zeta_{k}^{}$$ =

$${\frac{{1}}{{\zeta_k}}} \zeta_{k} {\frac{{A^p}}{{(p-1)!}}}$$ =

gdzie A = $\zeta_{k}^{}$k(1 - $\zeta_{k}^{}$k)...(n - $\zeta_{k}^{}$k), skąd wynika, że $\epsilon_{k}^{}$ = stała ^. ${\frac{{A^p}}{{(p-1)!}}}$ dąży do zera, gdy p $\rightarrow$ $\infty$, dla k = 1, 2,..., n. Niech p₀ będzie taką liczbą pierwszą, że dla każdej liczby pierwszej p $\geq$ p₀:

| C₁$$\epsilon_{1}^{}$$ +...+ C_n$$\epsilon_{n}^{}$$| < 1.

W definicji wielomian f wybierzmy teraz p > max{C₀, n, p₀}. Wówczas otrzymujemy sprzeczność: lewa strona omawianej równości jest niezerową liczbą całkowitą, a prawa jest - co do modułu - mniejsza od 1.

Liczba e "wzięła się" z logarytmów, a logarytmy wymyślono, żeby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat ta "cudowna własność" logarytmów, dzięki której z pomocą tablic (lub dwóch linijek z logarytmiczna skala - skalę logarytmiczną wynalazł matematyk angielski E. Gunter w 1620 roku. Suwak logarytmiczny wynalazł W. Oughtred około roku 1622) można było dodawać zamiast mnożyć (i mimo to uzyskiwać w rezultacie iloczyn) ułatwiała ludziom zycie. Dziś, w epoce komputerów, to zastosowanie logarytmów ma mniejsze znaczenie praktyczne. Logarytmy naturalne wzięły się stąd, że zostaly wymyślone jako "naturalny sposób" owej zamiany mnozenia w dodawanie.

(1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy

Dla małych x, y wyraz xy można pominąć i otrzymujemy

(1 + x)(1 + y) $$\approx$$ 1 + x + y.

Dla zwiększenia dokładności stosowano interpolację. Opracowano więc tablicę owych naturalnych logarytmów (Johna Nepera z 1614 r.) - takich, że

logarytm(1 + $${\frac{{x}}{{10000000}}}$$)^10000000 = x

Jak okazało się później, funkcje logarytmiczne są odwrotne do funkcji wykładniczych. I wlaśnie e jest podstawą owej odwrotnej do "logarytmu naturalnego" funkcji - pozostało wyliczyć owo e - sposoby opisano wyżej. Jak się okazało jeszcze później, logarytm naturalny jest jeszcze bardziej naturalny niż sądzono - w związku z prostą postacią wzorów na pochodną.

Zachodzi równość:

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$$(1 + $${\frac{{x}}{{n}}}$$)ⁿ = e^x.

Logarytmy, które po raz pierwszy pojawiły się na świecie w książce Johna Nepera (albo - z francuskiego - Napiera, 1550-1617) "Mirifici logarithmorum canonis descriptio" (Opis zadziwiających tablic logarytmów) z 1614 roku. Ta i druga jego ksiazka - "Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających tablic logarytmów) z 1620 roku powstały przez stablicowanie wyrażeń (1 + x/n)^-n dla dużego n i x przebiegającego wyrazy ciągu arytmetycznego. Były więc dobrymi przybliżeniami logarytmów przy podstawie e^-1. Dziwna podstawa 1/e logarytmów Nepera bierze się z faktu, że Neper obliczał przede wszystkim logarytmy sinusów posługując się "mechaniczną" definicja funkcji odwrotnej do funkcji o wlasnosci f'(x)/(1 - f (x)) = const.:

Mówimy, ze linia maleje proporcjonalnie, gdy punkt zakreślający takową w równych czasach odcina części w stałym stosunku proporcjonalną do linii, od której zostały odcięte. (tzn. gdy prędkość ruchu jest proporcjonalna do pozostałej części odcinka).

Jako że mogą być określone tak wolniejsze, jak i szybsze ruchy od dowolnie danego ruchu, wynika stąd w konieczny sposób, że mogą być ruchy o równej chyżosci, co dowolny ruch (które określamy jako nie szybsze i nie wolniejsze).

Zatem logarytm dowolnego sinusa jest liczbą najdokładniej wyrażającą linię, która przyrasta równo w czasie, gdy linia [o długości] całego sinusa maleje proporcjonalnie, gdy oba ruchy są równoczesne, i początkowo były równie szybkie.

Szwajcarski mechanik, zegarmistrz, astronom i matematyk J. Bürgi (1552-1632) odkrył logarytmy wcześniej niż Neper, ale swoje tablice opublikował dopiero w 1620 roku pod tytulem "Arytmetyczne i geometryczne tablice postępów". Bürgi obliczał (1 + x/n)ⁿ dla dużej liczby n. W 1617 roku Henry Briggs (1561-1631) opublikował ułożone przez siebie tablice logarytmów dziesiętnych liczb od 1 do 1000. Od 1617 roku Briggs (po spotkaniu z J. Neperem) w ciągu siedmiu lat ułożył i wydał tablice logarytmów dziesiętnych liczb od 1 do 20 000 i od 90 000 do 100 000 z dokładnością do 14 cyfr po przecinku. W książce "Brytyjska trygonometria" z 1633 roku Briggs zamieścił logarytmy dziesiętne sinusów i tangensów z taką samą dokładnością. Z uwagi na ułatwienie obliczeń mawiano, że Briggs wydłuzył dwukrotnie życie astronomom.

Felix Klein (1849-1925) definiował logarytm naturalny następująco:

ln x = $$\int_{1}^{x}$$$${\frac{{dt}}{{t}}}$$.

dla x > 0. Jeśli zna się całki oznaczone, to natychmiast widać, że logarytm naturalny jest funkcją różniczkowalną (więc ciągłą), rosnącą (więc odwracalną i funkcja odwrotna jest rosnąca), ln 1 = 0, oraz

• ${\frac{{d}}{{dx}}}$ln(xy) = ${\frac{{(xy)'}}{{xy}}}$ = ${\frac{{y}}{{xy}}}$ = ${\frac{{1}}{{x}}}$
• ln(xy) = ln x + c dla pewnej stałej c
• ln(1 ^. y) = ln 1 + c = 0 + c
• ln y = c
• ln(xy) = ln x + ln y.

Funkcje wykładnicze definiuje się wtedy tak:

e^x = y $$\Longleftrightarrow$$ ln y = x

oraz

a^x = e^xln a

dla a > 0.

Na koniec podamy przykład naturalnego pojawienia się liczby e. Jeśli złożyć w banku kwotę x złotych na 10 procent rocznie na 10 lat, to po tym czasie mamy na koncie

(1 + 10 ^. 0, 10)x = (1 + 1)x = 2x.

Jeśli pilnujemy swoich interesów, to możemy sobie zażyczyć aktualizacji konta nie po całym okresie lokaty, a co pół tego okresu - co 5 lat. Wtedy bank co 5 lat zwiększy nasze oszczędności o 50 procent (10 procent rocznie) i po 10 latach stan konta wyniesie

(1 + 0, 50)²x = (1 + $${\frac{{1}}{{2}}}$$)²x = 2, 25x.

Gdyby zażądać aktualizacji konta co 2 lata (5 razy w ciągu okresu lokaty), to na koniec stan konta wyniesie

(1 + 0, 20)⁵x = (1 + $${\frac{{1}}{{5}}}$$)⁵x = 2, 48832x.

Jeśli aktualizować co rok, to ostateczny stan konta wynosi

(1 + 0, 10)¹⁰x = (1 + $${\frac{{1}}{{10}}}$$)¹⁰x = 2, 5937424601x.

Czy częstsze doliczanie procentu do kapitału pozwoli zwiększyć nieograniczenie końcowy stan konta? Nie! Jeśli procenty są kapitalizowane n razy w ciągu 10 lat, to końcowy stan konta wyniesie

(1 + $${\frac{{1}}{{n}}}$$)ⁿx

Jeśli udałoby się namówić bank na nieskończenie częstą aktualizację, to końcowy stan konta wyniesie ex.