Niewymierność liczby $\pi$

Oczywiście to, że liczba $\pi$ jest niewymierna wynika bezpośrednio z faktu, że jest to liczba przestępna. Jednak podobnie jak w przypadku liczby e potrafimy podać krótki i elegancki dowód niewymierności.

Zdefiniujmy funkcję:

f (x) = $${\frac{{x^n (1-x)^n}}{{n!}}}$$ = $${\frac{{1}}{{n!}}}$$$$\sum_{{k=0}}^{n}$$$$\binom{n}{k}$$(- 1)^kx^n+k.

Nietrudno sprawdzić, że f^(r)(0) = 0 dla r < n lub dla r > 2n. Dla m $\in$ {1, 2,..., n - 1} mamy:

f^(n+m)(x) = $${\frac{{1}}{{n!}}}$$$$\sum_{{k=m}}^{n}$$$$\binom{n}{k}$$$${\frac{{(n+k)!}}{{(k-m)!}}}$$(- 1)^kx^k-m.

Wobec tego dla dowolnej liczby s $\in$ $\mathbb {N}$, f^(s)(0) jest liczbą całkowitą; skoro f (1 - x) = f (x), również f^(s)(1) jest liczbą całkowitą. Jest jasne, że dla 0 < x < 1 mamy:

0 < f (x) < $${\frac{{1}}{{n!}}}$$.

Zauważmy, iż wystarczy wykazać niewymierność liczby $\pi^{2}_{}$; załóżmy więc dla dowodu nie wprost, że $\pi^{2}_{}$ = ${\frac{{a}}{{b}}}$ dla pewnych liczb całkowitych a i b. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zdefiniujmy

F_n(x)bⁿ($$\pi^{{2n}}_{}$$f (x) - $$\pi^{{2n-2}}_{}$$f''(x) + $$\pi^{{2n-4}}_{}$$f⁽⁴⁾(x) -...+ (- 1)ⁿf⁽²ⁿ⁾(x)).

Odnotujmy, iż F_n(0) oraz F_n(1) są liczbami całkowitymi. Prostym rachunkiem sprawdzamy, że:

$${\frac{{d}}{{dx}}} \pi \pi \pi^{2}_{} \pi$$

$$\pi^{{2n + 2}}_{} \pi \pi^{2}_{} \pi$$ =

a więc

$$\int_{0}^{1}$$$$\pi$$aⁿf (x)sin nxdx = $$\left[\vphantom{ \frac{F_n(x) \sin \pi x}{\pi} - F_n(x) \cos \pi x }\right.$$$${\frac{{F_n(x) \sin \pi x}}{{\pi}}}$$ - F_n(x)cos$$\pi$$x$$\left.\vphantom{ \frac{F_n(x) \sin \pi x}{\pi} - F_n(x) \cos \pi x }\right]_{0}^{1}$$ = F_n(1) + F_n(0)

jest liczbą całkowitą. Ale ponieważ 0 < f (x) < ${\frac{{1}}{{n!}}}$, otrzymujemy:

0 < $$\int_{0}^{1}$$$$\pi$$aⁿf (x)sin nxdx < $${\frac{{\pi a^n}}{{n!}}}$$ < 1

dla n odpowiednio dużych. A zatem F_n(1) + F_n(0) jest dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od 1, co jest niemożliwością.