Czy 0 jest liczbą naturalną?

Przy próbie odpowiedzi na pytanie "czy zero jest liczbą naturalną?" musimy się zastanowić, do czego nam są potrzebne liczby naturalne. W matematyce liczby naturalne jaki całość, jako zbiór, są używane w trzech kontekstach:

1. Przy określaniu kolejności - czyli jako liczby porządkowe.
2. Przy określaniu liczebności (liczenia) - czyli jako liczby kardynalne.
3. Jako przedmiot badań teorii liczb.

W pierwszej sytuacji treść pojęcia "zbiór liczb naturalnych" tak czy inaczej sprowadza się do tego, jak ten zbiór jest uporządkowany, więc z tego punktu widzenia jest absolutnie obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od -273, od 0, od 1 czy od 666.

Kiedy liczby naturalne są potrzebne do liczenia przedmiotów ("liczba naturalna = moc zbioru skończonego"), sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały sie od zera, czyli od mocy zbioru pustego.

Kiedy zajmujemy się arytmetyką teoretyczną, czyli teorią liczb, w większości twierdzeń i definicji, np.

• Każda liczba naturalna przedstawia się w dokładnie jeden sposób jako iloczyn liczb pierwszych.
• Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych a, b nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, która jest wielokrotnością zarówno liczby a, jak i b.
• Liczba naturalna a jest dzielnikiem liczby naturalnej b, a| b, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna x, że b = ax.

zero okazuje się wyjątkiem i wszystkie te twierdzenia i definicje trzeba wydłużać o zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera.

Na dobrą sprawę można by napisać podrecznik arytmetyki, w którym liczby naturalne zaczynają się od -273, tylko zastrzeżeń będzie więcej, więc twierdzenia i definicje będą miły dłuższe - czyli trudniejsze do zapamiętania - sformułowania.

W praktyce okazuje się, że każda konsekwentna umowa jest w wielu sytuacjach niewygodna. Żeby opanować bałagan bez powtarzania za każdym razem, jak rozumiemy liczby naturalne coraz częściej używa się pojęć "liczba całkowita dodatnia" i "liczba całkowita nieujemna".

Warto pamiętać, że w greckiej i późniejszej matematyce 1 nie było liczbą (naturalną)! - było jednostką (długości, masy, objetości, wojska - tego, co się liczy). Liczba wyrażała ile jest jednostek, ale nie samą jednostkę... W traktacie Mohammada ibn Musy z Chorezmu "Kitaab fii'l'hisaab al hind" (księga o hinduskim rachunku) z IX w. czytamy:

"(...) każda liczba jest złożona i każda liczba składa się z jednostek. Zatem jednostka wchodzi w skład każdej liczby. (...) Jednostka jest podstawą wszystkich liczb i znajduje się poza ich zakresem. Jest podstawą liczby dlatego, że przez nią [w stosunku do niej] określa dowolną liczbę. Poza zakresem liczb jest ona dlatego, że określona jest sama przez się, to znaczy bez [pomocy] jakiejkolwiek innej liczby. Innych liczb nie da się wyznaczyć bez jednostki. Przecież kiedy mówisz "jeden", to dla swojego określenia ona nie potrzebuje innej liczby, a inne liczby wymagają jednostki, bo nie możesz powiedzieć "dwa" albo "trzy", jeśli nie poprzedza tego jednostka. Zatem każda liczba jest zbiorem jednostek, i mówiąc, że nie możesz powiedzieć "dwa" lub "trzy", mówimy nie o słowach, a - że tak powiem - o istocie rzeczy. Przecież nie może być dwa ani trzy, jeśli usunąć jeden. Jednostka może istnieć bez drugiego i trzeciego. Tak więc dwa to nic innego, jak podwojona jednostka. Podobnie trzy to nic innego, jak potrojenie tej samej jednostki. I tak należy rozumieć inne liczby."

Trzeba było sporo wieków, żeby przyzwyczaić się do tego, że 1 jest liczbą i sporo wieków, żeby przyzwyczaić się, że 0 jest liczbą.