Przedstawianie liczb wymiernych ułamkami dziesiętnymi

Dla uproszczenia wypowiedzi przyjmujemy, że są tylko nieskończone ułamki dziesiętne: 0,5 = 0,50000... = 0,5(0). Skończony ułamek dziesiętny to taki nieskończony ułamek dziesiętny, który od pewnego miejsca ma 0 w okresie.

Twierdzenie: Każda liczba wymierna jest wartością nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego.

Oczywiście okresowość zaczyna się od pewnego miejsca w rozwinieciu!

Dowód: Niech a będzie liczbą całkowitą, a b niech będzie liczbą całkowitą dodatnią. Przypomnijmy, jak się zamienia ułamek zwykły a/b na ułamek dziesiętny:

1. Dzielimy a z resztą przez b:
   a = a₀ ^. b + r₁ i 0 $$\leq$$ r₁ < b
   a więc:
   $${\frac{{a}}{{b}}}$$ = a₀ + $${\frac{{r_1}}{{b}}}$$

2. Mnożymy pierwszą resztę przez 10 i iloczyn dzielimy z resztą przez b:
   10r₁ = a₁ ^. b + r₂ i 0 $$\leq$$ r₂ < b
   a więc:
   $${\frac{{a}}{{b}}}$$ = a₀ + $${\frac{{10}}{{10}}}$$ ^. $${\frac{{r_1}}{{b}}}$$ = a₀ + $${\frac{{a_1}}{{10}}}$$ + $${\frac{{1}}{{10}}}$$ ^. $${\frac{{r_2}}{{b}}}$$
   przy czym z nierówności r₁ < b wynika, że a₁ $\leq$ 10r₁/b < 10, czyli a₁ daje pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia a/b na ułamek dziesiętny.
3. Mnożymy drugą resztę przez 10 i iloczyn dzielimy z resztą przez b:
   10r₂ = a₂ ^. b + r₃ i 0 $$\leq$$ r₃ < b
   a więc:
   $${\frac{{a}}{{b}}}$$ = a₀ + $${\frac{{a_1}}{{10}}}$$ + $${\frac{{10}}{{10}}}$$ ^. $${\frac{{1}}{{10}}}$$ ^. $${\frac{{r_2}}{{b}}}$$ = a₀ + $${\frac{{a_1}}{{10}}}$$ + $${\frac{{a_2}}{{100}}}$$ + $${\frac{{1}}{{100}}}$$ ^. $${\frac{{r_3}}{{b}}}$$
   i a₂ < 10 itd.

Poza kolejnymi cyframi dziesiętnymi a_n uzyskujemy jeszcze ciąg reszt r_n, przy czym dla każdego numeru n:

10r_n = a_n+1 ^. b + r_n+1 i 0 $$\leq$$ r_n+1 < b.

Nasza umowa o nieskończonych ułamkach dziesiętnych oznacza, że nie kończymy obliczeń gdy okaże się, że dla pewnego n resztą było zero; jeśli r_n = 0, to wszystkie następne reszty i następne cyfry będą równe 0. Mamy nieskończony ciąg reszt r_n spełniajacych nierówności 0 $\leq$ r_n < b. Oczywiście wyrazy tego ciągu nie mogą być wszystkie różne, bo jest tylko b liczb całkowitych nieujemnych mniejszych od b. Ale jesli r_m = r_m + s, to:

10r_m = 10r_m+s

zatem zachodzą równości:

a_m+1 = a_m+s+1 i r_m+1 = r_m+s+1.

W takim razie równe są też następne reszty i następne cyfry dziesiętne, itd. Na zasadzie indukcji matematycznej ciągi cyfr i reszt od miejsca m są równe ciągom cyfr i reszt od miejsca m + s. Zauważamy jeszcze, że

r_m+2s = r_(m+s)+s = r_m+s = r_m,

r_m+3s = r_(m+s)+2s = r_m+2s = r_m

itd., więc na zasadzie indukcji matematycznej r_m+ks = r_m i r_m+ks+l = r_m+l, czyli ciąg reszt r_n jest - od miejsca m - okresowy z okresem s. W takim razie również ciąg a_n cyfr dziesiętnych jest od miejsca m okresowy z okresem s. Dowód jest zakończony.

Odwrotnie, wartością każdego ułamka dziesiętnego okresowego od miejsca m z okresem s jest liczba wymierna:

$${\frac{{a_0 a_1 a_2 \ldots a_{m-1}}}{{10^{m-1}}}} {\frac{{a_m a_{m+1} \ldots a_{m + s-1}}}{{10^{m + s-1}}}}$$ a₀, a₁a₂...a_m-1(a_ma_m+1...a_m+s-1) =

$${\frac{{a_m a_{m+1} \ldots a_{m + s-1}}}{{10^{m + ns-1}}}}$$ +

przesunięcie ciągu cyfr a_ma_m+1...a_m+s-1 w prawo o s oznacza podzielenie przez 10^s. To znaczy, że wartość tego ułamka dziesiętnego jest sumą tzw. przedokresu p = a₀a₁a₂...a_m-1/10^m-1 i sumy wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie w = a_ma_m+1...a_m+s-1/10^m+s-1 i ilorazie q = 1/10s. Interesująca nas wartość jest więc równa

p + $${\frac{{w}}{{1 - q}}}$$.

Liczby p, w, q są wymierne, więc i wartość jest liczbą wymierną.