Żarłoczna koza, uwiązana na sznurku, zjada trawę z połowy łąki

Mamy okrąg o promieniu r, na obwodzie okręgu wbity jest kołek, do którego przywiązana jest koza na sznurku o długości R. Koza zjada trawę tak daleko jak pozwala jej sznurek R, zjadła tę trawę w całym zasięgu sznurka R, tak że pole trawy zjedzonej równe jest polu trawy nie zjedzonej. Jaki musi byc stosunek R/r, aby było to możliwe?

Przyjmijmy r = 1. Szukamy zatem R. Pole części wspólnej kół to:

P = R ^. arccos(R/2) + ($$\pi$$ -2 arccos(R/2)) + R ^. $$\sqrt{{1 - \frac{R^2}{4}}}$$,

gdzie pierwszy składnik to pole wycinku koła o promieniu R, drugi składnik to pole wycinka koła o promieniu 1, a trzeci to pole deltoidu będącego częścią wspólną wycinków. Ponieważ P = $\pi$/2 (połowa pola całego koła o promieniu 1), zatem

(R² -2) ^. arccos(R/2) + $$\pi$$/2 - R ^. $$\sqrt{{1 - \frac{R^2}{4}}}$$ = 0.

Stąd - licząc miejsce zerowe funkcji - dostajemy:

R $$\approx$$ 1.158728473018121517828233509933509149688292266492096511820695884820669802559196093199321610730860438

Zadanie o kozie ma tysiąc wcieleń. Zaczynało się od najprostszej postaci:

• Łąka ma kształt kwadratu o boku r. Właściciel uwiązał w rogu kozę na postronku długości r, a kiedy koza zjadła całą dostępną zieleń, umocował postronek w sąsiednim rogu. Jaką część łąki objadła koza?
• W założeniach poprzedniego zadania zmieniamy tylko długość postronka na R. Jakie musi być R, żeby koza objadła połowę powierzchni łąki?

po bardzo nieprzyjemne rachunkowo:

• Koza uwiązana jest na postronku o długości R na łące na zewnątrz parkanu o planie okręgu o promieniu r. Obliczyć powierzchnię, z której koza może zjeść trawę.
• Jw., tylko parkan jest eliptyczny, a koza przywiązana w jednym z wierzchołków elipsy.