Paradoks więźnia, zazdrosny mąż i "Idź na całość"

Co miesiąc mniej więcej powraca w jednej z licznych wersji stare i znane zadanie z rachunku prawdopodobieństwa, o wpływie dodatkowej informacji na prawdopodobieństwo. Oto spis najczęściej spotykanych wersji:

• Teleturniej "Idź na całość"
• Zazdrosny mąż
• Paradoks więźnia
• Szanse na asa w brydżu

No i najważniejsze:

• Rozwiązanie

Teleturniej "Idź na całość":

Gracz ma wybrać jedną z trzech skrzynek: w jednej jest cenna nagroda. Gracz wskazuje skrzynkę - nic nie wiedząc wybiera ją losowo. Przed otwarciem skrzynki prowadzący teleturniej (który wie, gdzie jest nagroda) otwiera jedną z pozostałych dwóch skrzynek, pustą. Prowadzący pyta gracza: "Pozostajesz przy swoim wyborze, czy zmieniasz?". Co ma zrobić gracz? Pozostać przy swoim początkowym wyborze, czy go zmienić? Jakie jest prawdopodobieństwo, że nagroda jest w już wybranej skrzynce, a jakie, że nagroda jest w pozostałej, nieotwartej skrzynce?

Zazdrosny mąż:

Słysząc wracającego do domu przed czasem męża, żona chowa kochanka do szafy. Mąż wpada do sypialni, w której są trzy szafy, podchodzi do jednej (wybranej losowo) z tych trzech szaf, aby ją otworzyć. Widząc to, żona otwiera jedną z pozostałych, pustą szafę. Co powinien zrobić mąż, chcąc najszybciej przyłapać kochanka żony: otworzyć szafę do której zmierza, czy otworzyć drugą, nieotwartą jeszcze szafę? Jakie jest prawdopodobieństwo, że kochanek jest w początkowo wybranej szafie, a jakie, że jest w drugiej, nieotwartej jeszcze szafie?

Paradoks więźnia:

W lochu siedzą, czekając na egzekucję, w oddzielnych celach Łukasz, Jan i Piotr. Wyrok jest dziwny: dwóch z nich straci głowy na szafocie w niedzielny poranek, przy czym do ostatniej chwili nie będą wiedzieli, kto umrze, a kto przeżyje. Piotr męczy się i nie może spać w noc z soboty na decydującą niedzielę. W końcu zwraca się do strażnika:

- Wiem, że wiesz, ale nie możesz mi powiedzieć, czy przeżyję, czy zginę. Ale wiem, że co najmniej jeden z moich współwięźniów zginie rano. Podając mi imię jednego z nich, który zginie, nie zmienisz mojej sytuacji. Powiedz mi, proszę, imię mojego współwięźnia, który zginie rano.

Po zastanowieniu strażnik stwierdził, że spełnienie prośby rzeczywiście nie narusza wyroku, więc szepnął na ucho Piotrowi: "Łukasz". Uradowany Piotr wylewnie podziękował strażnikowi. Zdziwiony strażnik poprosił o wyjaśnienie.

- Miałem jedną szansę na trzy, że przeżyję (prawdopodobieństwo przeżycia równe 1/3). Teraz mam jedną szansę na dwie, że przeżyję (prawdopodobieństwo przeżycia 1/2)!

- Ale przecież mogłeś od początku założyć, że ta rozmowa już się odbyła - cokolwiek bym odpowiedział, i tak zostaje ci jedna szansa na dwie!

Na tym właśnie polega paradoks: które obliczenie prawdopodobieństwa jest słuszne: początkowe (wynik 1/3), czy z wykorzystaniem strażnika (wynik 1/2)?

Plotka głosi, że problem obliczenia prawdopodobieństwa jednego zdarzenia dwoma sposobami, analogicznymi do opisanych, wyniknął w trakcie pewnej konferencji naukowej genetyków. Po trzech dniach gorących sporów genetycy rozstrzygnęli przez głosowanie (!), który sposób obliczania prawdopodobieństwa jest "słuszny". Ale to tylko plotka...

Szanse na asa w brydżu:

Ta wersja w wariancie pełnym ma - w odróżnieniu od poprzednich - inne dane liczbowe; w wariancie uproszczonym jest tym samym zadaniem. Przypomnijmy definicje gry w brydża i pokera, obowiązujące w rachunku prawdopodobieństwa:

Talia kart brydżowych zawiera 52 karty w czterech kolorach, po 13 kart w każdym. W każdym kolorze jest 13 wartości (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, walet, dama, król i as). Cztery kolory noszą nazwy: piki, trefle, kara, kiery. Dwa ostatnie kolory są czerwone, dwa pierwsze czarne. (...) przez grę w brydża rozumiemy rozdanie kart czterem graczom, których nazwijmy: N, S, E i W, tak, że każdy z nich otrzymuje 13 kart. Gra w pokera oznacza (...) wylosowanie z talii 5 kart. (W. Feller, "Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa", tom 1, Warszawa, PWN 1980, wyd. IV str. 17)

Jak pisze (w "A mathematician's miscellany") J.E. Littlewood, około roku 1911 studentów jednego z brytyjskich uniwersytetów niepokoiły różne wyniki, uzyskane przy rozwiązywaniu zadania egzaminacyjnego [wariant pełny]:

W brydżu E i W są partnerami. Załóżmy, że E nie ma asa, ale dowiedział się, że W ma (choć jednego) asa. Jakie jest prawdopodobieństwo p tego, że W ma co najmniej dwa asy?

Niektórzy rozwiązujący obliczali prawdopodobieństwo q tego, że W ma co najmniej dwa asy pod warunkiem, że W ma asa pik. Prawdopodobieństwa p i q są różne i q > p. Littlewood wyjaśnia dalej: Zakładając cały czas, że E nie ma ani jednego asa zauważamy, że 1 - q jest ilorazem prawdopodobieństwa, że W ma tylko asa pik przez prawdopodobieństwo tego, że W ma co najmniej asa pik; jednocześnie 1 - p jest ilorazem prawdopodobieństwa tego, że W ma jednego asa przez prawdopodobieństwo tego, że W ma co najmniej jednego asa. Druga dzielna jest czterokrotnie większa od pierwszej. Zatem

$${\frac{{1 - p}}{{1 - q}}}$$ = $${\frac{{P(\mbox{co najmniej asa pik}) + \ldots + P(\mbox{co najmniej asa kier})}}{{P(\mbox{co najmniej jednego asa})}}}$$

Ten iloraz jest większy od 1, bo zdarzenia wystepujące w liczniku nie wykluczają się. Pozorna oczywistość błędnego wniosku p = q wynika z rozumowania: "W ma asa, można przyjąć, że to jest as pik". Ale nie ma żadnego "to jest": jeśli W ma więcej niż jednego asa, to ten, kto informuje gracza E musi wybrać jednego z asów, żeby można go było przyjąć za "to jest".

[wariant uproszczony]

Sytuacja staje się jaśniejsza, jeśli przyjąć, że gracz otrzymuje dwie karty z talii 3 kart: as pik, as kier i dwójka karo. Tutaj już od początku wiemy, że gracz ma przybajmniej jednego asa i prawdopodobieństwo dwóch asów wynosi 1/3. Jeślibyśmy wiedzieli, że gracz ma asa pik, to prawdopodobieństwo dwóch asów jest równe 1/2.

Rozwiązanie:

Generalna zasada przy zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa:

Zawsze trzeba patrzeć kiedy i w jaki sposób wykonuje się losowanie

pozwala łatwo przeanalizować wszystkie możliwości. Ponumerujmy skrzynki (szafy, więźniów): 1 - puste, 2 - puste, 3 - pełne. Najpierw gracz (mąż, sędzia) losuje jedną z trzech możliwości, potem losuje prowadzący (żona, strażnik):

wybór gracza, męża itp.	1	2	3
prawdopodobieństwo	1/3	1/3	1/3
wybór prowadzącego, żony itp.	2	1		1
prawdopodobieństwo rezultatu	1/3	1/3	1/6	1/6

Niewiadome prawdopodobieństwo losowania przez prowadzącego (żonę, strażnika) gdy gracz (mąż, więzień) trafił, przyjmujemy za równe 1/2. Ostatecznie wszystkie możliwości wyczerpują cztery wykluczające się parami zdarzenia, których prawdopodobieństwa podano w ostatnim wierszu tabeli. Zatem można łatwo obliczyć prawdopodobieństwo każdego z interesujących nas zadarzeń:

• Zdarzenie "otwarte 1" (prowadzący czy żona wylosowali 1) ma prawdopodobieństwo 1/3 + 1/6 = 1/2.
• Zdarzenie "trafione i otwarte 1" ma prawdopodobieństwo 1/6.
• Prawdopodobieństwo zdarzenia "trafione pod warunkiem, że otwarte 1" jest równe (1/6)/(1/2) = 1/3.
• Zdarzenie "nietrafione i otwarto 1" ma prawdopodobieństwo 1/3,

więc

• zdarzenie "nietrafione pod warunkiem, że otwarto 1" ma prawdopodobieństwo (1/3)/(1/2) = 2/3.

Zatem zmiana pierwotnego wyboru podwaja szanse, czego można było oczekiwać od początku: Przy pierwszym losowaniu "trafione" miało prawdopodobieństwo 1/3, "nietrafione" miało prawdopodobieństwo 2/3 i tego losowania nie zmieniają poźniejsze działania: 1/3 szans, że pierwszy wybór był słuszny, 2/3 szans, że niesłuszny, zamiast pozostać przy początkowym wyborze jednej możliwości, lepiej wybrać dwie pozostałe naraz. Po wykluczeniu jednej z nich "wybrać obie pozostałe" to to samo, co "wybrać drugą" - lepiej zmienić wybór.

Nie można obliczać prawdopodobieństwa w pierwszym losowaniu zakładając, że drugie się odbyło i jego wynik miał prawdopodobieństwo 1 - drugie losowanie odbywa się później i nie może zmienić prawdopodobieństwa, z którym już odbyło się pierwsze losowanie.