Wzory Newtona

Dany jest wielomian

f (x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n = a₀(x - x₁)(x - x₂)...(x - x_n),

gdzie x₁, x₂,..., x_n są wszystkimi pierwiastkami tego wielomianu. Sumy s_k = $\sum_{{i=1}}^{n}$x_i^k n -tych potęg jego pierwiastków można wyrazić przez współczynniki wielomianu f (x) i wyznaczać rekurencyjnie (tzn. jeśli już obliczyliśmy s₀, s₁,..., s_k, to łatwo obliczyć s_k+1) za pomocą wzorów:

• s₀ = n = deg f;
• dla k = 1, 2,..., n - 1:
  a₀s_k + a₁s_k-1 + ... + a_k-1s₁ + ka_k = 0,
  a_ns_-k + a_n-1s_1-k + ... + a_n-k+1s_-1 + a_n-k = 0

• dla k = n, n + 1,...:
  a₀s_k + a₁s_k-1 + ... + a_n-1s_k-n+1 + a_ns_k-n = 0
  a_ns_-k + a_n-1s_1-k + ... + a₁s_n-k-1 + a₀s_n-k = 0