Popatrzmy teraz na wielomiany i ich pochodne pod kątem istnienia i rodzaju ekstremum.

Funkcja stała (niemonotoniczna) ma ekstremum w każdym punkcie (zarówno maksimum , jak i minimum).
Jej pochodna stale jest równa zero.



Matematycy mówią, że zerowanie się pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum.

Funkcja liniowa, której pochodna jest funkcją stałą (różną od zera), nie ma ekstremum.

   
Czy wiesz, jakimi wzorami określone są funkcje na tych rysunkach ?




Wniosek 1.
Jeżeli pochodna jest różna od zera, to funkcja nie ma ekstremum.

Dla funkcji liniowej warunek konieczny nie jest spełniony, więc
Funkcja liniowa nie ma ekstremum.

Funkcja kwadratowa zawsze ma ekstremum i jest to
  • minimum w przypadku dodatniego współczynnika przy x2
  • maksimum w przypadku ujemnego współczynnika przy x2
    Zauważ, jak zmienia się znak pochodnej w każdym z tych przypadków.

       

    Na wykres patrzymy, oczywiście, od strony lewej do prawej.
    Wniosek 2.
  • Jeżeli w sąsiedztwie miejsca zerowego pochodna zmienia się z dodatniej na ujemną, to w miejscu zerowym istnieje maksimum.
  • Jeżeli w sąsiedztwie miejsca zerowego pochodna zmienia się z ujemnej na dodatnią, to w miejscu zerowym istnieje minimum.
    Jest to oczywiste. Jeżeli funkcja różniczkowalna najpierw rośnie, a potem maleje,to ma maksimum. Jeżeli najpierw maleje, a potem rośnie, to ma minimum.

    Zmiana znaku pochodnej w sąsiedztwie jej miejsca zerowego jest warunkiem wystarczającym istnienia pochodnej.

    Problem ekstremum wielomianu stopnia trzeciego wymaga krótkiego przygotowania.

    Popatrz na wykres funkcji y = x3 i wykres jej pochodnej.


    Funkcja jest rosnąca i nie ma ekstremum.
    Łatwo możesz zauważyć, że pochodna jest funkcją kwadratową, która stale jest nieujemna
    (jest dodatnia i w jednym punkcie x = 0 zeruje się)


    Wnioski.
    1. Pochodna wielomianu y = x3 określona jest wzorem y ' = 3x2.
    2. Pochodna jest dodatnia (poza jednym punktem). Funkcja jest rosnąca.
    3. Pochodna zeruje się w jednym punkcie, ale w sąsiedztwie tego punktu nie zmienia znaku. Funkcja nie ma ekstremum.

    Popatrz na wykres funkcji y = -x3 i wykres jej pochodnej.

    Funkcja jest malejąca i nie ma ekstremum.
    Łatwo możesz zauważyć, że pochodna jest funkcją kwadratową, która stale jest niedodatnia (jest ujemna i w jednym punkcie x = 0 zeruje się)



    Wnioski.
    1. Pochodna wielomianu y = -x3 określona jest wzorem y ' = -3x2.
    2. Pochodna jest ujemna (poza jednym punktem). Funkcja jest malejąca.
    3. Pochodna zeruje się w jednym punkcie, ale w sąsiedztwie tego punktu nie zmienia znaku. Funkcja nie ma ekstremum.

    Gdyby wziąć funkcję y = ax3, to dla a>0 otrzymamy wykresy jak w przypadku funkcji y = x3, a przez to analogiczne własności, zaś dla a<0 będzie tak, jak w przypadku funkcji y = x3.
    Można uogólnić (i udowodnić), że
    1. Pochodna wielomianu y = ax3 (a € R \ {0}) określona jest wzorem y ' = -3ax2.
    2. Funkcja y = ax3 (a € R \ {0}) jest monotoniczna (rosnąca dla a>0 i malejąca dla a<0).
    3. Funkcja y = ax3 (a € R \ {0}) nie ma ekstremów.

    Wielomian stopnia trzeciego może jednak mieć ekstremum. Czy domyślasz się, co o tym decyduje ?
    Oczywiście, ilość miejsc zerowych i ich krotności.
    Wielomian stopnia trzeciego może mieć co najwyżej trzy miejsca zerowe.
    Popatrzmy na wykresy w przypadku trzech i dwóch różnych miejsc zerowych

    Ta funkcja ma 3 miejsca zerowe.
    Funkcja kwadratowa, która jest jej pochodną, ma 2 miejsca zerowe (x1, x2, gdzie x1 < x2). Na lewo od x1 funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie, na prawo ujemne. Dla x1 wyjściowa funkcja ma maksimum. Wartość maksymalną f(x1) w przybliżeniu możesz odczytać z wykresu. Dla x2 znaki pochodnej są na odwrót, więc dla x2 wyjściowa funkcja ma minimum.

    Ta funkcja ma 2 miejsca zerowe.
    Funkcja kwadratowa, która jest jej pochodną, ma 2 miejsca zerowe, jak w przykładzie poprzednim. Z rysunku łatwo odczytasz, że
  • dla x = 0 funkcja ma maksimum (pochodna zeruje się, a w sąsiedztwie zera zmienia znak z dodatniego na ujemny)
  • dla x = 2 funkcja przyjmuje minimum, a jej pochodna w tym punkcie zeruje się, zaś w sąsiedztwie tego punktu zmienia znak z ujemnego na dodatni.

    Wartości minimalną f(x2) i maksymalną f(x1) w przybliżeniu możesz odczytać z wykresu.

    Można jeszcze bardziej uogólnić (i udowodnić) twierdzenie 7 o istnieniu ekstremów.

    Spróbujmy teraz wykorzystać warunek konieczny i warunek wystarczający istnienia ekstremum w przypadkach bardziej skomplikowanych.

    Rysunek przedstawia wykresy funkcji
    f(x) = x(x + 1)(x - 1)
    i jej pochodnej.
    Na rysunku zaznaczono, że w pewnych przedziałach pochodna jest dodatnia i w pewnym przedziale jest ujemna.
    Dla zwiększenia wprawy w odczytywaniu wykresów możesz zapisać, jakie to przedziały.

    Zwróć uwagę na to, że gdyby odpowiednio dobrać jednostki na osi oy, to powyższy wykres mógłby przedstawiać
  • wielomian stopnia wyższego niż 3, który ma tylko 3 miejsca zerowe,
    np. f(x) = g(x)x(x + 1)(x - 1), gdzie g(x) jest wielomianem nierozkładalnym
  • funkcję wymierną, która ma takie same miejsca zerowe
  • funkcję wymierną, która ma w liczniku lub w mianowniku takie same czynniki.
    Ponieważ znak pochodnej nie zmieniłby się w żadnym z tych przykładów, funkcje te miałyby ekstrema tego samego rodzaju i w tych samych punktach, co przykładowa funkcja.

    Do badania ekstremów wielomianów i funkcji wymiernych bardzo często stosowana jest analiza znaku pochodnej w takiej właśnie formie graficznej. Zauważ, że wykorzystuje się tu zależność znaku iloczynu od ilości czynników ujemnych (iloczyn nieparzystej ilości czynników ujemnych jest ujemny).