Pojęcie całki oznaczonej.

 Już w III wieku p.n.e. zastanawiano się nad sposobem wyznaczenia pola figury, która nie jest ograniczona wielokątami
lecz krzywymi.
Zagadnienie to leży u podstaw rachunku całkowego.
Z powodzeniem zajmował się nim Archimedes, dlatego śmiało można mówić o nim, jako o prekursorze rachunku całkowego.
W dalszych rozważaniach przyjmujemy założenie, że f(x) jest funkcją ciągłą, o wartościach nieujemnych.

Rozważmy obszar zaznaczony na rysunku.
Niech S oznacza jego pole.
Obszaru tego nie możemy rozłożyć na kwadraty
lub trójkąty, nie podamy zatem
wzoru na pole S w postaci sumy skończonej.
Możemy natomiast znaleźć przybliżoną wartość S.
Spróbujmy powtórzyć rozumowanie Archimedesa.
Zobaczmy jaki wpływ na tę różnicę ma stopniowe zmniejszanie szerokości pomocniczych prostokątów.

Żeby zaobserwować kolejne etapy przybliżania pola,
wykorzystaj przyciski.
....... .......
Powtórzmy jeszcze raz całą operację.
Wniosek: Widać, że sumowanie pól prostokątów przy zmniejszającej się ich szerokości, pozwala przybliżać
pole pod krzywą z dowolną dokładnością.
Spostrzeżenie to daje nam metodę definiowania pola dowolnego obszaru pod krzywą jako granicy pewnych sum skończonych.
Granica równa polu pod krzywą jest niezależna od wyboru ciągu prostokątów pomocniczych, jeśli tylko szerokości tych prostokątów dążą do zera.


Możemy w prosty sposób rozszerzyć tę definicję na dowolny przedział .

Symbol , wymyślił i wprowadził G.W.Leibniz. Podkreśla on sposób otrzymywania całki jako granicy ciągu pewnych sum.
To także Leibniz jako pierwszy zaczął określać proces sumowania całkowaniem (poszukiwaniem "sumy całkowitej" ?).

Wykorzystamy teraz metodę obliczania całki jako granicy w kilku prostych przykładach.

Przykład 1.

PRZYKŁAD 2.
PRZYKŁAD 3.
Obliczanie całki oznaczonej z definicji jest kłopotliwe.
Jeśli chcesz przekonać się czy istnieje prostsza metoda,
przejdź do następnej strony.