Archimedes
(287 — 212 p.n.e)
Uważany za jednego z trzech największych matematyków świata (obok Newtona i Gaussa).
W dziełach "O kuli i walcu", "O spiralach", "O konoidach i sferoidach"
Archimedes zastosował metodę sum całkowych górnych i dolnych,
które dziś nazywamy sumami Riemanna lub Darboux.
Przypuśćmy, że chodzi o wyznaczenie wielkości P (np.pola) pewnej figury.
Archimedes wpisuje
w tę figurę i opisuje na niej figury schodkowe,
złożone z części elementarnych, których wielkości są znane.
Sumuje je otrzymując oczywistą zależność:
s < P < S
Archimedes dowodzi, że różnicę S - s można uczynić dowolnie małą,
zwiększając należycie liczbę części elementarnych i zmniejszając ich wielkość.
Znajduje P jako wspólną granicę obu sum s i S.
Choć nie stwierdza tego wyraźnie, to jednak we wszystkich rozpatrywanych przez niego przypadkach
sumy s wzrastają monotonicznie,
a sumy S maleją monotonicznie.
Oczywiście Archimedes nie posługuje się jeszcze formalnie pojęciem granicy.