<<Strona główna    <<Komentarz    <<Pojęcia podstawowe    <<Zadania    <<Test

<Przykład 1>    <Przykład 2>    <Przykład 3>    <Przykład 4>

Przykład 1.

Narysujmy wykres funkcji y=2x+1
Obierzmy dwie wartości argumentu x.
np. x₁=-1 oraz x₂=2

Obliczamy wartości danej funkcji dla wybranych argumentów:

y₁=2*x1+1=2+(-1)+1=-1

oraz

y₂=2*x2+1=2*2+1=5

Wykres funkcji jest prostą przechodzącą przez dwa punkty (x₁,y₁) i (x₂,y₂) tzn. przez punkty (-1,-1) oraz (2.5).

 Pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią X, znajdziemy rozwiązując równanie:

2x+1=0

Otrzymamy        x=0.5

Liczba ta jest miejscem zerowym danej funkcji. Wykres przecina oś X w punkcie (-0.5 , 0)

Możemy powiedzieć:

Jeżeli a jest różne od zera, to miejscem zerowym funkcji y=ax+b jest liczba x=-b/a

Punkt przecięcia wykresu z osią Y otrzymamy obliczając wartość danej funkcji dla argumentu x=0, czyli y=2*0+1=1.

Wykres funkcji przecina oś Y w punkcie (0,1).

Możemy powiedzieć!

    Wykres funkcji y=ax+b przecina oś Y w punkcie (0,b).

 << Powrót do początku strony

Przykład 2.

Sporządźmy wykresy funkcji liniowych.

a.) y=  -3x
b.) y=  2x+2
c.) y=  3 

a.) Dla funkcji y=-3x obliczamy współrzędne dwóch punktów, które wyznaczają prostą będącą wykresem tej funkcji.

Np.     x₁=0                            x₂=-1

          y₁=-3*0=0                  y₂=-3*(-1)=3

Punkty (0,0) i (-1,3) należą do wykresu tej funkcji. Sporządźmy ten wykres.

Wykresem funkcji y=-3x jest prosta przechodząca przez punkty (0,0) oraz II i IV ćwiartkę układu współrzędnych.

Opiszmy własności tej funkcji:

1. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba x=0. Jest to miejsce w którym wykres przecina oś X
2. Wykres przecina oś Y również dla y=0
3. Funkcja y=-3x jest malejąca w całej swojej dziedzinie, ponieważ dla rosnących argumentów wartości tej funkcji maleją.

Np.

x=-2                        x=1

y=-3*(-2)=6            y=-3*1=-3

b.) Sporządźmy wykres funkcji y=2x+2.

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów wyznaczających prostą będącą wykresem tej funkcji.

np.

x=0                                  x=-1

y=2*0+2 = 2                   y=2*(-1)+2=0

Punkty (0,2) i (-1,0) należą do wykresu funkcji.

 Wykresem funkcji jest prosta przechodząca przez I, II i III ćwiartkę układu współrzędnych.

Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba x=-1 bo dla argumentu -1 funkcja ta przyjmuje wartość 0.

Funkcja y=2x+2 przecina oś Y w punkcie (0,2) bo dla x=0 przyjmuje wartość y=2.

Funkcja y=2x+2 jest rosnąca ponieważ dla rosnących argumentów rosną też wartości tej funkcji.

np.

c.) Sporządźmy wykres funkcji y=3.

Współrzędne punktów wyznaczających wykres funkcji y=0*x+3 to np.

(-4,3) (8,3) ponieważ jeśli x=-4 to y=0*(-4)+3=3 oraz gdy x=8 to y=0*8+3=3.

Punkty te wyznaczają prostą równoległą do osi X przecinającą oś Y w punkcie 3.

Funkcja y=3 jest funkcją stałą , bo dla dowolnych argumentów przyjmuje tą samą wartość y=3.

Jeśli b=3 to funkcja nie ma miejsca zerowego. Żadna funkcja y=b dla b różnego od 0, nie ma miejsca zerowego. Natomiast dla b=0 funkcja przyjmuje postać y=0 i ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym. Wykresem tej funkcji jest cała oś X.

Zauważmy:

Wykresem funkcji liniowej y=ax+b jest prosta. 
Liczba a wyznacza kierunek tej prostej, dlatego współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji. Mówimy, że funkcja y=ax+b w całej swojej dziedzinie jest:

        rosnąca dla a>0

        malejąca dla a<0

        stała dla a = 0

 << Powrót do początku strony

Przykład 3.

Wykonajmy wykresy funkcji :

a.) y=x
b.) y=x+3
c.) y=x-5

których dziedziną jest zbiór R.

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, które wyznaczają prostą - wykres funkcji.

a.)  x₁=0        x₂=1

       y₁=0        y₂=1

b.) x₁=0              x₂=1

      y₁=0+3=3     y₂=1+3=4

c.) x₁=0             x₂=1

     y₁=0-5=-5    y₂=1-5=-4

Zauważmy:
Jeśli współczynniki kierunkowe a funkcji są równe, to wykresami tych funkcji są proste równoległe.

 << Powrót do początku strony

Przykład 4.

Wykonajmy wykresy funkcji:
a.) y = 2x + 2 
b.) y = -x + 2
c.) y = -4x + 2

Obliczmy współrzędne dwóch punktów, które wyznaczą wykresy funkcji. 

a.)  x = 0                      x = 1

     y = 2*0 + 2 = 2     y = 2*1 +2 = 4

b.) x = 0                  x = 1

     y = 0 + 2 = 2     y = -1 + 2 = 1

c.) x = 0                       x = 1

     y = -4*0 + 2 = 2     y = -4*1 + 2 = -2

Zauważmy:

Jeśli współczynniki b funkcji są równe to wykresy tych funkcji przecinają się w punkcie, w którym przecinają oś Y.
Możemy powiedzieć, że: 
Wykres funkcji liniowej y = ax + b przecina oś Y w punkcie (0;b).

 << Powrót do początku strony    <<Komentarz   <<Strona główna    <<Pojęcia podstawowe    <<Zadania    <<Test