next up previous
Next: Tożsamości trygonometryczne Up: Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego Previous: Wzory redukcyjne

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Sinusoida jest to wykres funkcji sinus w układzie prostokątnym. Aby nakreślić sinusoidę, odcinamy na osi odciętych miary kątów i w otrzymanych punktach tej osi zaczepiamy wektory prostopadłe, których miary na osi rzędnych równają się wartościom funkcji sinus.

Na każdej z dwóch osi układu można obrać dowolną jednostkę. Na ogół staramy się mieć na obu osiach tę samą jednostkę. W przypadku stopniowej miary byłoby to bardzo niewygodne. Jednostka na osi odciętych powinna być dość krótka, aby na rysunku zmieścił sie dość szeroki zakres kątów, np. od oo do 360o. Z drugiej strony sinus przyjmuje wartości zawarte między -1 i +1, więc jednostka na osi rzędnych nie może być tak mała, jak na osi odciętych. Dlatego, stosując stopniową miarę kąta, będziemy używać różnych jednostek na osiach układu. Jednostkę na osi rzędnych przyjmujemy równą promieniowi koła trygonometrycznego; wtedy można wektory przedstawiające wartości funkcji trygonometrycznych wprost "wyjmować" z koła trygonometrycznego i "rozstawiać" na osi odciętych. Linia łącząca końce tych wektorów będzie wykresem odpowiedniej funkcji trygonometrycznej:

\includegraphics[width=12cm]{104-1.eps}

Cosinusoida jest to wykres funkcji cosinus w układzie prostokątnym. Cosinusoidę kreślimy podobnie jak sinusoidę. Ponieważ wektory przedstawiające wartości cosinusa leżą w kole trygonometrycznym poziomo, więc, aby ułatwić sobie przenoszenie ich, trzeba by obrócić koło trygonometryczne o kąt +90o albo też obrócić wykres o kąt -90o.

Cosinusoida jest krzywą tego samego kształtu, co sinusoida. Jeśli obie te krzywe nakreślimy w jednym układzie, to okaże się, że cosinusoida jest przesunięta względem sinusoidy w lewo o odcinek długości odpowiadającej 90o. Odpowiada to tożsamości

cos($\displaystyle \alpha$ -90o) = sin$\displaystyle \alpha$.

Ponieważ każdy kąt ma nieskończenie wiele miar, więc sinusoida i cosinusoida mogą być przedłużane o dowolnie wiele "fal" w lewo i w prawo:

\includegraphics[width=12cm]{104-2.eps}

Tangensoida jest to wykres funkcji tangens. Poniższy rysunek przedstawia sposób kreślenia tangensoidy dla kątów I ćwiartki:

\includegraphics[width=12cm]{104-3.eps}
Tangensoida składa się z gałęzi, wzajemnie przystających i oddzielonych asymptotami:
\includegraphics[width=12cm]{104-4.eps}

Dziedziną funkcji tangens jest suma przedziałów:

...,(- 90o, +90o),(90o, 270o),(270o, 540o),...

W każdym z tych przedziałów tangens rośnie od - $ \infty$ do + $ \infty$. W punktach rozgraniczających te przedziały tangens jest nieokreślony, a w sąsiedztwie tych punktów nieograniczony.

Tangensoida przecina oś odciętych w punktach odpowiadających miarom stopniowym kątów, dla których tangens przybiera wartość 0; kąty takie są dwa: zerowy i półpełny, ich miary wyrażą wzór k . 180o, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

Cotangensoida, czyli wykres funkcji cotangens:

\includegraphics[width=12cm]{104-5.eps}
jest krzywą odwrotnie przystającą do tangensoidy. Asymptoty cotangensoidy odpowiadają innym kątom niż asymptoty tangensoidy. Cotangens jest funkcją malejącą w każdym ze swoich przedziałów istnienia.


next up previous
Next: Tożsamości trygonometryczne Up: Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego Previous: Wzory redukcyjne
Pawel Gladki 2006-01-30