Wielomiany stopnia 4 - wzory Ferrari

Równanie ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 podstawieniem x = y - b/(4a) sprowadza się do równania postaci y⁴ + py² + qy + r = 0. Metoda Ferrari polega na wyrażeniu rozwiązań równania y⁴ + py² + qy + r = 0 przez pierwiastki odpowiednio dobranego wielomianu stopnia 3:

y₁ = $${\frac{{\sqrt{-z_1} + \sqrt{-z_2} + \sqrt{-z_3}}}{{2}}}$$,

y₂ = $${\frac{{\sqrt{-z_1} - \sqrt{-z_2} - \sqrt{-z_3}}}{{2}}}$$,

y₃ = $${\frac{{-\sqrt{-z_1} + \sqrt{-z_2} - \sqrt{-z_3}}}{{2}}}$$,

y₄ = $${\frac{{-\sqrt{-z_1} - \sqrt{-z_2} + \sqrt{-z_3}}}{{2}}}$$,

gdzie z₁, z₂, z₃ są rozwiązaniami równania

z³ -2pz² + (p² -4r)z + q² = 0.

Odwrotnie, z₁, z₂, z₃ wyrażają się przez y₁, y₂, y₃, y₄:

z₁ = (y₁ + y₂)(y₃ + y₄),

z₂ = (y₁ + y₃)(y₂ + y₄),

z₃ = (y₁ + y₄)(y₂ + y₃)

i są niezmiennikami działania czteroelementowej podgrupy normalnej V₄ grupy Galois S₄ ogólnego wielomianu stopnia 4. Każda grupa czteroelementowa ma dwuelementową podgrupę normalną i S₄/V₄ $\cong$ S₃ (co oznacza, że równanie stopnia 4 sprowadza się do równania stopnia 3 i wyciągania pierwiastków kwadratowych). Grupa S₃ ma trzyelementową podgrupę normalną A₃, więc V₄ jest normalną podgrupą dwunastoelementowej podgrupy normalnej grupy S₄, która ma 24 elementy.

Wyróżnik

$$\Delta$$ = 256r³ -128r²p² +16rp⁴ +144prq² -27q⁴ -4q²p³

wielomianu z³ -2pz² + (p² -4r)z + q² jest równy wyróżnikowi wielomianu y⁴ + py² + qy + r bo

(y₄ - y₁)(y₃ - y₂) = z₂ - z₁,

(y₃ - y₁)(y₄ - y₂) = z₃ - z₁,

(y₂ - y₁)(y₄ - y₃) = z₃ - z₂.