Wielomiany stopnia 3 - wzory Cardano

Z uwagi na znaczną komplikację wzorów dla równania

ax³ + bx² + cx + d = 0

w pełnej postaci:

$${\frac{{1}}{{3}}} \sqrt[3]{{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}$$ x₁ =

$$\left(\vphantom{ \frac{3ca-b^2}{3a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}\right. {\frac{{3ca-b^2}}{{3a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}} \left.\vphantom{ \frac{3ca-b^2}{3a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}\right) {\frac{{b}}{{3a}}}$$ -

$${\frac{{-1 + \sqrt{-3}}}{{6}}} \sqrt[3]{{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}$$ x₂ =

$${\frac{{1 + \sqrt{-3}}}{{6}}} \left(\vphantom{ \frac{3ca-b^2}{a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}\right. {\frac{{3ca-b^2}}{{a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}} \left.\vphantom{ \frac{3ca-b^2}{a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}\right) {\frac{{b}}{{3a}}}$$ +

$${\frac{{1 + \sqrt{-3}}}{{6}}} \sqrt[3]{{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}$$ x₃ =

$${\frac{{1 - \sqrt{-3}}}{{6}}} \left(\vphantom{ \frac{3ca-b^2}{a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}\right. {\frac{{3ca-b^2}}{{a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}} \left.\vphantom{ \frac{3ca-b^2}{a^2 \sqrt[3]{\frac{9cba-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}}\right) {\frac{{b}}{{3a}}}$$ +

gdzie

$$\Delta$$ = - 4c³a + c²b² +18cbad - 27d²a² -4db³

jest wyróżnikiem, równanie ax³ + bx² + cx + d = 0 dzielimy przez a znajdując równoważne równanie x³ + (b/a)x² + (c/a)x + (d /a) = 0, po czym podstawienie x = y - b/(3a)

$$\left(\vphantom{y - \frac{b}{3a}}\right. {\frac{{b}}{{3a}}} \left.\vphantom{y - \frac{b}{3a}}\right)^{3}_{} {\frac{{b}}{{a}}} \left(\vphantom{y - \frac{b}{3a}}\right. {\frac{{b}}{{3a}}} \left.\vphantom{y - \frac{b}{3a}}\right)^{2}_{} {\frac{{c}}{{a}}} \left(\vphantom{y - \frac{b}{3a}}\right. {\frac{{b}}{{3a}}} \left.\vphantom{y - \frac{b}{3a}}\right) {\frac{{d}}{{a}}}$$

$${\frac{{b^2}}{{3a^2}}} {\frac{{2b^3}}{{27a^3}}} {\frac{{c}}{{a}}} {\frac{{cb}}{{3a^2}}} {\frac{{d}}{{a}}}$$ =

$$\left(\vphantom{ \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}}\right. {\frac{{c}}{{a}}} {\frac{{b^2}}{{3a^2}}} \left.\vphantom{ \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}}\right) {\frac{{cb}}{{3a^2}}} {\frac{{d}}{{a}}} {\frac{{2b^3}}{{27a^3}}}$$ =

sprowadza równanie do postaci y³ + py + q = 0, i znajdujemy rozwiązania z wzorów Cardano:

y₁ = $$\left(\vphantom{ \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}} }\right.$$$$\sqrt[3]{{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}$$$$\left.\vphantom{ \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}} }\right)$$ - $$\left(\vphantom{ \frac{p}{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}\right.$$$${\frac{{p}}{{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{p}{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}\right)$$,

y₂ = $${\frac{{-1 + \sqrt{-3}}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}} }\right.$$$$\sqrt[3]{{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}$$$$\left.\vphantom{ \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}} }\right)$$ + $${\frac{{1 + \sqrt{-3}}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \frac{p}{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}\right.$$$${\frac{{p}}{{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{p}{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}\right)$$,

y₃ = $${\frac{{-1 - \sqrt{-3}}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}} }\right.$$$$\sqrt[3]{{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}$$$$\left.\vphantom{ \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}} }\right)$$ + $${\frac{{1 - \sqrt{-3}}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \frac{p}{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}\right.$$$${\frac{{p}}{{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{p}{3 \frac{-9q + \sqrt{-3\Delta}}{18}}}\right)$$,

gdzie

D = - 4p³ -27q²

jest wyróżnikiem.

Jeśli nie mamy ochoty uczyć się tych wzorów, to - metodą Thomasa Harriota - w równaniu y³ + py + q = 0 podstawiamy y = z - p/(3z):

$$\left(\vphantom{ z - \frac{p}{3z} }\right.$$z - $${\frac{{p}}{{3z}}}$$$$\left.\vphantom{ z - \frac{p}{3z} }\right)^{3}_{}$$ + p$$\left(\vphantom{ z - \frac{p}{3z} }\right.$$z - $${\frac{{p}}{{3z}}}$$$$\left.\vphantom{ z - \frac{p}{3z} }\right)$$ + q = z³ - $${\frac{{p^3}}{{27z^3}}}$$ + q

i t = z³ znajdujemy, rozwiązując równanie

t² + qt - $${\frac{{p^3}}{{27}}}$$ = 0