Określenie funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego

Wektor wodzący i jego współrzędne. Rozważmy na płaszczyźnie OXY wektor

$$\overrightarrow{r}$$ = $$\overrightarrow{OM}$$.

Wektor ten nazywamy wektorem wodzącym punktu M, a jego długość r promieniem wodzącym punktu M. Załóżmy, że r = const > 0; wówczas M leży na okręgu o(O, r). Niech $\alpha$ będzie miarą kąta skierowanego $\angle$$\overline{{XOM}}$ utworzonego przez dodatnią półoś OX i wektor $\overrightarrow{OM}$:

Rzutując wektor $\overrightarrow{OM}$ na osie układu, otrzymujemy dwa wektory $\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{OB}$, akładowe wektora $\overrightarrow{OM}$. Miary względne tych wektorów, brane względem osi, na której każdy z tych wektorów leży, oznaczamy literamy x i y:

x = miara $$\overrightarrow{OA}$$, y = miara $$\overrightarrow{OB}$$

i nazywamy współrzędnymi wektora $\overrightarrow{OM}$. Liczbę x nazywamy odciętą, a liczbę y rzędną wektora $\overrightarrow{OM}$. Liczby te są jednocześnie współrzędnymi punktu M.

Jeśli $\alpha$ rośnie od 0 do 90 stopni, to wektor $\overrightarrow{OM}$ wykonuje obrót od dodatniej półosi OX przez I ćwiartkę płaszczyzny do dodatniej półosi OY; współrzędne x i y sa dodatnie, przy czym x maleje od r do 0, zaś y rośnie od o do r:

Określenie funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego. Niech będzie dany na płaszczyźnie OXY dowolny kąt skierowany o mierze $\alpha$. Sprowadzając go do położenia standardowego:

i oznaczając literą M dowolny punkt leżący na końcowym ramieniu kąta i różny od wierzchołka kąta, otrzymujemy kąt $\angle$$\overline{{XOM}}$ o mierze $\alpha$, który w dalszym ciągu będziemy nazywać kątem $\alpha$.

Oznaczając literami x, y, r odciętą, rzędną i promień wodzący punktu M, określamy funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$ następującymi równościami:

sin$$\alpha$$ = $${\frac{{y}}{{r}}}$$,   cos$$\alpha$$ = $${\frac{{x}}{{r}}}$$,

tg$$\alpha$$ = $${\frac{{y}}{{x}}}$$,   ctg$$\alpha$$ = $${\frac{{x}}{{y}}}$$,

sec$$\alpha$$ = $${\frac{{r}}{{x}}}$$,   cosec$$\alpha$$ = $${\frac{{r}}{{y}}}$$.

Znak funkcji trygonometrycznych. Funkcja sinus przybiera wartości takiego znaku, jaki jest znak rzędnej, a więc dodatnie w I i II ćwiartce i ujemne w III i IV.

Funkcja cosinus przybiera wartości takiego znaku, jaki jest znak odciętej, a więc przybiera wartości dodatnie w I i IV ćwiartce oraz ujemne w II i III ćwiartce.

Funkcje tangens i cotangens przybierają wartości dodatnie, gdy x i y są tego samego znaku, tj. w I i III ćwiartce oraz wartości ujemne, gdy x i y są przeciwnych znaków, tj. w II i IV ćwiartce: