Fraktale i samopodobieństwo

Fraktale cechuje bardzo ciekawa własność zwana samopodobieństwem. Powiększane w dowolnym miejscu ujawniają części łudząco podobne do wyjściowego zbioru. Chodzi o coś w rodzaju powtarzania kształtu w nieskończoność, niejako ,,w głąb", w pewnej zamkniętej przestrzeni. Dla przykładu przedstawimy krzywą Kocha, której proces tworzenia polega na dzieleniu odcinka na trzy równe części, gdzie część środkową zastępuje się ząbkiem (trójkątem równobocznym bez podstawy). Powstaje w tym momencie odcinek złożony z czterech równych odcinków. Postępując tak w nieskończoność, każdemu uzyskanemu odcinkowi dodając ząbek, uzyskuje się krzywą zbudowaną z samych ząbków - trójkątów bez podstawy - o nieskończonej długości, lecz mieszczącą się w niewielkim obszarze. Krzywa w żadnym miejscu nie przecina się ze sobą i w żadnym punkcie nie jest różniczkowalna.

Fraktale można również charakteryzować przez pewnego rodzaju ,,nieregularność" - jeżeli w płaskiej figurze geometrycznej (np. kwadracie) dwukrotnie powiększymy boki - jej powierzchnia wzrośnie czterokrotnie. Przeprowadzając takie operacje na fraktalu jego powierzchnia zwiększy się mniej niż czterokrotnie.