next up previous
Next: Teoria liczb Up: Rozwiązywanie równań Previous: Wzory na pierwiastki dowolnego

Czasem można sobie poradzić - czyli kilka sztuczek...

Rozważmy wielomian

f (X) = a0Xn + a1Xn-1 +...+ an-1X + a0

w którym

a0 = an, a1 = an-1, a2 = an-2,...

i który nazywać będziemy wielomianem obustronnym. Zauważmy, że wielomiany tego typu można scharakteryzować poprzez następującą własność:

Xnf ($\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) = f (X).

Jeżeli teraz n jest liczbą nieparzystą, to oczywiście -1 jest pierwiastkiem równania f (X) = 0 i tym samym f (X) jest podzielny przez X + 1:

f (X) = (X + 1) . g(X).

Wielomian g(X) jest wielomianem stopnia n - 1 oraz:

Xn-1g($\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) = Xn-1$\displaystyle {\frac{{(\frac{1}{X} + 1)}}{{(\frac{1}{X} + 1)}}}$g($\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) = Xn-1f ($\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$)$\displaystyle {\frac{{1}}{{\frac{1 + X}{X}}}}$ = Xnf ($\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$)$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+X}}}$ = $\displaystyle {\frac{{f(X)}}{{1+X}}}$ = g(X)

tak więc również wielomian g jest obustronny. Wobec tego przy badaniu wielomianów obustronnych wystarczy ograniczyć się do przypadku wielomianów stopnia parzystego. Zanim pokażemy na czym polega ogólna sztuczka, rozważmy konkretny przykład: rozwiążmy równanie:

6X4 = 35X3 +62X2 - 35X + 6 = 0.

Dzieląc przez X2 i odpowiednio porządkując składniki otrzymujemy:

6(X2 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^2}}}$) - 35(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) + 62 = 0.

Podstawiając

X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$ = Z

wobec

X2 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^2}}}$ = Z2 - 2

otrzymujemy

6(X2 - 2) - 35Z + 62 = 0,

a więc zwykłe równanie kwadratowe, które rozwiązujemy znanymi metodami.

Przejdźmy teraz do opisu ogólnej metody. Przed podaniem głównego twierdzenia sformułujmy lemat:

Lemat: Zachodzi równość:

Xk + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^k}}}$ = fk(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$),

gdzie fk(X) są wielomianami otrzymanymi rekurencyjnie w następujący sposób:

f0(Z) = 2, f1(Z) = Z

oraz

fk+1(Z) = zfk(Z) - fk-1(Z), k $\displaystyle \geq$ 2.

Dowód: Faktycznie, dla k = 0 oraz k = 1 nie ma czego dowodzić - załóżmy więc, że równość zachodzi dla liczb k - 1 i k. Ponieważ:

Xk+1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^{k+1}}}}$ = (Xk + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^k}}}$)(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) - (Xk-1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^{k-1}}}}$)

otrzymujemy:

Xk+1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X^{k+1}}}}$ = fk(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$)(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) - fk-1(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$) = fk+1(X + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X}}}$).

Z wykorzystaniem powyższego lematu udowodnimy następujące:

Twierdzenie: Jeśli n = 2m i a0 $ \neq$ 0, to pierwiastki wielomianu obustronnego:

f (X) = a0Xn + a1Xn-1 +...+ an-1X + a0

można otrzymać rozwiązując równania kwadratowe:

X2 - ZjX + 1 = 0

dla j = 1, 2,..., m, gdzie Z1, Z2,..., Zm są rozwiązaniami równania:

a0fm(Z) + a1fm-1(Z) +...+ am-1f1(Z) + am = 0,

gdzie wielomiant f1,..., fm są zdefiniowane tak, jak w poprzednim lemacie.

Dowód: Powiedzmy, że X0 jest jednym z pierwiastków rozważanego równania. Wówczac oczywiście X0 $ \neq$ 0, gdyż an = a0 $ \neq$ 0. Dzieląc więc nasze równanie przez X0m otrzymujemy:

a0X0m + a1X0m-1 +...+ am +...+ an-1$\displaystyle {\frac{{1}}{{X_0^{m-1}}}}$ + an$\displaystyle {\frac{{1}}{{X_0^m}}}$ = 0.

Wobec tego, po wykonaniu niezbędnego uproszczenia powyższego wyrażenia, wykorzystując fakt, że wielomian f jest obustronny, dostajemy:

a0fm(X0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X_0}}}$) + a1fm-1(X0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{X_0}}}$) +...+ am = 0.

Zatem liczba Z0 = X0 + $ {\frac{{1}}{{X_0}}}$ jest pierwiastkiem równania podanego w wypowiedzi twierdzenia, zaś X0 jest pierwiastkiem równania

X2 - Z0X + 1 = 0.

W podobny sposób dowodzimy, że jeśli X0 jest pierwiastkiem odpowiedniego równania kwadratowego, a Zj jest pierwiastkiem równania podanego w wypowiedzi twierdzenia, to X0 jest pierwiastkiem wyjściowego równania.

Powyższe twierdzenie orzeka zatem, że rozwiązanie równania obustronnego stopnia 2m sprowadza się do rozwiązania równania stopnia m oraz m równań kwadratowych. Tym samym potrafimy napisać ogólne wzory na rozwiązania równań obustronnych stopni do dziewiątego włącznie.


next up previous
Next: Teoria liczb Up: Rozwiązywanie równań Previous: Wzory na pierwiastki dowolnego
Pawel Gladki 2006-01-30