next up previous
Next: Wzory na pierwiastki dowolnego Up: Rozwiązywanie równań Previous: Uwagi historyczne o wzorach

Nierozwiązalność równań wielomianowych przez pierwiastniki

Znany wszystkim wzór x = (- b - $ \sqrt{{b^2 - 4ac}}$)/(2a) podaje jeden z pierwiastków wielomianu ax2 + bx + c. Współczynnikami tego wielomianu są litery (zmienne) a, b, c. Innymi słowy, ax2 + bx + c jest "ogólnym" trójmianem kwadratowym, czyli wzorem na wszystkie trójmiany kwadratowe.

Twierdzenie Abela - Ruffiniego dotyczy rozwiązalności przez pierwiastniki tzw. równania ogólnego, to znaczy takiego, które ma współczynniki "literowe". Oto ono: jeśli k jest ciałem, a1, a2,..., an są niezależnymi zmiennymi i K = k(a1, a2,..., an), to równanie f (x) = 0, gdzie

f (x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an $\displaystyle \in$ K[x]

jest rozwiązalne w pierwiastnikach wtedy i tylko wtedy, gdy n < 5.

Dowód oraz wyjaśnienie oznaczeń i pojęć można znaleźć - na przykład - w podręczniku "Teoria ciał" prof. Jerzego Browkina (PWN, Warszawa 1978).



Pawel Gladki 2006-01-30