Nierozwiązalność równań wielomianowych przez pierwiastniki

Znany wszystkim wzór x = (- b - $\sqrt{{b^2 - 4ac}}$)/(2a) podaje jeden z pierwiastków wielomianu ax² + bx + c. Współczynnikami tego wielomianu są litery (zmienne) a, b, c. Innymi słowy, ax² + bx + c jest "ogólnym" trójmianem kwadratowym, czyli wzorem na wszystkie trójmiany kwadratowe.

Twierdzenie Abela - Ruffiniego dotyczy rozwiązalności przez pierwiastniki tzw. równania ogólnego, to znaczy takiego, które ma współczynniki "literowe". Oto ono: jeśli k jest ciałem, a₁, a₂,..., a_n są niezależnymi zmiennymi i K = k(a₁, a₂,..., a_n), to równanie f (x) = 0, gdzie

f (x) = xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n $$\in$$ K[x]

jest rozwiązalne w pierwiastnikach wtedy i tylko wtedy, gdy n < 5.

Dowód oraz wyjaśnienie oznaczeń i pojęć można znaleźć - na przykład - w podręczniku "Teoria ciał" prof. Jerzego Browkina (PWN, Warszawa 1978).