Na podstawie książki "Bezmiar matematycznej wyobraźni" Krzysztofa Ciesielskiego i Zdzisława Pogody, Marcin Orochel napisał, o co chodzi w stosowaniu teorii Galois do badania rozwiązalności równań. Niestety, tekst (książki) zawiera wiele błędów - poprawki wprowadzono w nawiasach kwadratowych [kursywą].
Wyobraźmy sobie kwadrat i jego grupę izometrii własnych. Ma ona osiem elementów. Dla prostokąta [nie będącego kwadratem!] odpowiednia grupa ma tylko cztery elementy. Prostokąt jest jakby "mniej symetryczny" niż kwadrat. Grupa izometrii [własnych] okręgu, jednej z "najbardziej symetrycznych" figur, jest nieskończona. Okazało się, że podobne związki występują w równaniach. Możliwość i sposób wyliczenia [obliczenia] pierwiastków równania [wielomianu] zależy od stopnia jego symetrii (odpowiednio rozumianej). Galois zauważył pewne symetrie wystepujące w równaniach (dokładniej: w zbiorach rozwiazań) [jeszcze dokładniej: w zbiorach wyrażeń zbudowanych z rozwiązań i ze stałych za pomocą czterech działań] i potrafił je precyzyjnie wyrazić w języku teorii grup.
Z każdym równaniem [wielomianem] związał on pewną grupę skończoną. Istnieje twierdzenie (pochodzace od Lagrange'a, choć Lagrange, nie znając jeszcze pojęcia grupy, udowodnił je w bardzo szczególnym przypadku - dla grup permutacji) [to wystarczająco ogólny szczególny przypadek - twierdzenie Cayleya o reprezentacji mówi, że każda grupa jest "taka sama" jak pewna grupa permutacji] mówiące, że jeśli weźmiemy grupę skończoną i jakąkolwiek jej podgrupę, to liczba elementów w grupie musi być podzielna przez liczbę elementów w podgrupie. Co pokazał Galois? Weźmy grupę skończoną związaną z danym równaniem [wielomianem]. Do niej dobierzmy pewną podgrupę niezmienniczą [normalną], istotnie od niej różną. Ta podgrupa ma zatem mniej elementow niż grupa; ona sama także jest grupą. Dobierzmy więc dla tej podgrupy zawartą w niej podgrupę niezmienniczą [normalną], jeszcze mniejszą - i tak dalej, aż dojdziemy do zbioru jednoelementowego (to też jest grupa, z tym, że najprostsza z możliwych). Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że możemy dzielić (bez reszty) liczby elementow w grupie i podgrupie nastepującej po niej w opisanej wyżej konstrukcji. Galois wykazał, że jeśli uda [da] się te podgrupy tak skonstruować, by wszystkie wyniki dzieleń były liczbami pierwszymi, to równanie skojarzone z wyjściową grupą można rozwiązać za pomocą pierwiastkowania i czterech podstawowych działań.
[Pojęcie] ciała odgrywa[ją] także ważną rolę w teorii Galois - są [jest] jednym z istotnych "szczegółów" konstrukcji.
Grupy Galois są istotną pomocą przy rozstrzygalności [rozstrzyganiu o] rozwiązywalności [rozwiązalności] równań.
Grupa Galois związana z równaniem postaci x5 - x - 1 = 0 (o ktorym wiadomo, że ma pięć pierwiastków rzeczywistych [łatwo sprawdzić, że ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty] ma sto dwadzieścia elementów. Okazuje się, że odpowiednie jej podgrupy niezmiennicze [normalne] mogą mieć elementow albo 60, albo 1. Ale, jak pokazał Galois, otrzymana w ten sposób grupa sześćdziesięcioelementowa dopuszcza jako podgrupy niezmiennicze [normalne] tylko samą siebie i grupę jednoelementową. Mamy 120 : 1 lub 120 : 60 : 1. W pierwszym przypadku 120 : 1 = 120, ktore nie jest liczbą pierwszą. W drugim zaś najpierw 120 : 60 = 2 - tu wszystko jest w porządku - ale 60 : 1 = 60, które także nie jest liczbą pierwszą. Pokazaliśmy, że odpowiedniego ciągu podgrup skonstruować się nie da. Nie można znaleźć wzorów na pierwiastki tego, a więc i ogólnego równania [wielomianu] piątego stopnia, wyrażających się przez pierwiastniki. Jednakże w przypadku szczególnych równań potrafimy takie rodziny [ciągi] podgrup skonstruować, co wskazuje, że w pewnych sytuacjach problem jest możliwy do rozstrzygniecia. Na przykład dla równania: x5 - 1 = 0
Oczywiście, wielomian x5 - x - 1 ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, bo funkcja f (x) = x5 - x - 1 ma jedno maksimum dla x = 1/51/4 i jedno minimum dla x = - 1/51/4, przy czym f (- 1/51/4) = - 4/51/4 -1 < 0 i f (1/51/4) = 4/51/4 -1 < 0. Można udowodnić, że wielomian postaci x5 + ax2 + bx + c ma pięć pierwiastków rzeczywistych tylko wtedy, gdy a = b = c = 0.
Natomiast jest prawdziwa informacja, że grupa Galois wielomianu x5 - x - 1 ma 120 elementów i nie ma innych podgrup normalnych, niż grupa sześdziesięcioelementowa i grupa jednoelementowa, a podgrupa sześćdziesięcioelementowa ma tylko jednoelementową podgrupę normalną. Liczby pierwsze, które powinny się pojawić, żeby pierwiastki wielomianu wyrażały się przez pierwiastniki, są stopniami pierwiastków we wzorach (np. pierwiastek szóstego stopnia to pierwiastek kwadratowy z pierwiastka trzeciego stopnia; jeśli we wzorze występuje pierwiastek szóstego stopnia, to w ciągu liczb pierwszych pojawia się 2 i 3).
Przykład wielomianu x5 - 1 jest ni z gruszki ni z pietruszki, bo ten wielomian jest rozkładalny:
x5 -1 = (x - 1) . (x2 - x(1 - 
)/2 + 1) . (x2 - x(1 + )/2 + 1).