"ELEMENTY" EUKLIDESA

Najsłynniejszym dziełem Euklidesa są "Elementy" składające sie z trzynastu ksiąg. Większość z nas kojarzy "Elementy" głównie z geometrią. Geometria szkolna, na której jesteśmy wychowani, wzięta jest niemal dosłownie z siedmiu spośród trzynastu ksiąg. Ale "Elementy", to nie tylko geometria. Księgi VII -IX poświęcone są teorii liczb (naturalnych), zaś wyłożona w księdze V teoria wielkości Eudokosa jest bliska późniejszej teorii przekrojów Dedekinda. (Współczesna definicja liczby rzeczywistej oparta jest na pojęciu przekroju.)

Teoria liczb w "Elementach".

Euklides zajmował się podzielnością liczb.

Algorytmem Euklidesa.

Sformułował i udowodnił twierdzenie zwane zasadniczym twierdzeniem arytmetyki:

Jeżeli p jest liczbą pierwszą i p dzieli iloczyn ab,
to p dzieli a lub p dzieli b.
Udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Liczby pierwsze.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67, 71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193, 197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337, 347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463, 467,479,487,491,499,503,509,...

Liczby pierwsze stanowią bardzo interesujący podzbiór zbioru liczb naturalnych.

Czy wiesz, że:

Zastosowana w III w. p.n.e. przez Eratostenesa z Cyreny, metoda "odsiewania" liczb pierwszych zwana Sitem Eratostenesa, do dziś stanowi jedną z najskuteczniejszych metod znajdowania liczb pierwszych w zadanym podzbiorze zbioru liczb naturalnych.

Wielu słynnych matematyków zaangażowało się w poszukiwanie ogólnego wzoru na liczby pierwsze. Byli wśród nich: Leonard Euler, Marin Mersenne, Pierre Fermat. Próby te, wprawdzie nieudane, zaowocowały odkryciem innych zbiorów liczbowych o bardzo ciekawych własnościach.

Poszukiwanie dużych liczb pierwszych stało się konkurencją niemal sportową. Wielu zapaleńców uruchamia doskonałe maszyny liczące, by znaleźć coraz większe liczby pierwsze. W 2000 r. "Gazeta Wyborcza" podała, że największą znalezioną liczbą pierwszą jest 2^{6 972 593} - 1.

Liczby pierwsze są powszechnie stosowane w kryptografii do szyfrowania różnych informacji.

Teoria wielkości Eudokosa.

Jest to najbardziej abstrakcyjna część dzieła Euklidesa. Opisuje w niej stworzoną przez Eudokosa teorię proporcji wielkości (o wielkościach pisałyśmy nieco na stronie poświęconej Pitagorejczykom). Współcześni matematycy doszukali się w niej początków teorii liczb rzeczywistych. Zagadnienia te należą jednak do matematyki wyższej i nie porywamy się na ich tłumaczenie w naszej pracy.
Z pokorą przyjmujemy to, co odpowiedział Euklides Ptolomeuszowi I - władcy Alesandrii na pytanie:
"Czy nie ma krótszej drogi, niż studiowanie "Elementów?":

"W MATEMATYCE NIE MA DROGI SPECJALNEJ DLA KRÓLÓW."

Zapamiętaj

badania nad podzielnością liczb - dowody wielu własności

formalne dowody reguł rachunkowych

stosunki wielkości --» przekroje --» liczby rzeczywiste