Przepływ krwi i wydajność serca

Rozważmy model przepływu krwi w naczyniu krwionośnym, takim jak żyła lub tętnica. Możemy przyjąć, że naczynie krwionośne ma kształt cylindrycznej rury o promieniu zewnętrznym R, promieniu wewnętrznym r, a następnie rozważyć odcinek naczynia o długości l. Z uwagi na lepkość krwi i opór stawiany podczas przepływu, prędkość przepływu krwi v jest największa blisko osi symetrii naczynia i zmniejsza się wraz ze zmniejszaniem się odległości r od ścianek naczynia, aby ostatecznie osiągnąć wartość zero. Związek między prędkością przepływu v i odległością od ściany naczynia r opisuje prawo przepływu krwi odkryte doświadczalnie przez francuskiego lekarza Jean'a-Louis'a-Marie Poiseuille'a w 1840 roku:

v = $${\frac{{P}}{{4 \eta l}}}$$(R² - r²)

gdzie $\eta$ jest lepkością krwi a P różnicą w ciśnieniu pomiędzy końcami rozpatrywanego fragmentu naczynia.

Chcąc teraz obliczyć ilość krwi przepływającej przez naczynię (ilość rozumiemy tu jako stosunek objętości do jednostki czasu), podzielmy przekrój naczynia za pomocą koncentrycznych okręgów o promieniach r₁, r₂,..., r_n takich, że różnica pomiędzy kolejnymi dwoma promieniami jest stała. Pole powierzchni pierścienia wyznaczonego przez dwa sąsiadujące okręgi równa jest więc

2$\pi$r_i$\Delta$r, gdzie $\Delta$r = r_i - r_i-1.

Jeśli $\Delta$r jest odpowiednio małe, to prędkość przepływu jest w przybliżeniu stała na całej powierzchni pierścienia i może być przybliżona przez wartość v(r_i). Wobec tego objętość krwi przepływająca w jednostce czasu równa jest w przybliżeniu

(2$$\pi$$r_i$$\Delta$$r)v(r_i) = 2$$\pi$$r_iv(r_i)$$\Delta$$r

i całkowita ilość przepływającej krwi wyniesie

$$\sum_{{i=1}}^{n}$$2$$\pi$$r_iv(r_i)$$\Delta$$r.

Oczywiście prędkość przepływu (a więc i ilość przepływającej krwi) jest tym większa, im bliżej osi symetrii naczynia się znajdujemy. Przybliżenie otrzymane w powyższych obliczeniach będzie tym dokładniejsze, im większe n przyjmiemy do obliczeń - nietrudno zatem zauważyć, że całkowita ilość przepływającej krwi wyrazi się wzorem

$$\lim_{{n \rightarrow \infty}}^{} \sum_{{i=1}}^{n} \pi \Delta \int_{0}^{R} \pi$$ F =

$$\int_{0}^{R} \pi {\frac{{P}}{{4 \eta l}}}$$ =

$${\frac{{\pi P}}{{2 \eta l}}} \int_{0}^{R} {\frac{{\pi P}}{{2 \eta l}}} {\frac{{r^2}}{{2}}} {\frac{{r^4 - 4}}{{}}}$$ =

$${\frac{{\pi P}}{{2 \eta l}}} {\frac{{R^4}}{{2}}} {\frac{{R^4}}{{4}}} {\frac{{\pi P R^4}}{{8 \eta l}}}$$ =

Równanie jakie otrzymaliśmy:

F = $${\frac{{\pi P R^4}}{{8 \eta l}}}$$

zwane jest prawem Poiseuille'a.

Zagadnieniem pokrewnym jest obliczanie wydajności serca, czyli ilości krwi F (rozumianej jako stosunek objętości do jednostki czasu) pompowanej przez serce do aorty. Metoda mierzenia wydajności serca jest następująca: do prawej komory serca wstrzykuje się kontrast, który razem z krwią przepompowywany jest przez serce do aorty. Sonda umieszczona w aorcie mierzy stężenie kontrastu w krwi opuszczającej serce w równych odstępach czasu w pewnym przedziale czasowym [0, T], dopóki kontrast przestaje być wykrywalny. Niech c(t) oznacza stężenie kontrastu w krwi w momencie t. Jeśli podzielimy przedział [0, T] na małe podprzedziały o równej długości $\Delta$t, wyznaczone przez momenty t₁, t₂,..., t_n, to ilość kontrastu przepływającego w ciągu podprzedziału [t_i-1, t_i] równa jest w przybliżeniu

stężenie × objętość = c(t_i)(F$\Delta$t)

gdzie F jest ilością przepływającej krwi, którą chcemy obliczyć. Wobec tego całkowita ilość przepływającego kontrastu równa jest

$$\sum_{{i=1}}^{n}$$c(t_i)F$$\Delta$$t = F$$\sum_{{i=1}}^{n}$$c(t_i)$$\Delta$$t

i biorąc granicę powyższego wyrażenia przy n $\rightarrow$ $\infty$ otrzymujemy następujący wzór

A = F$$\int_{0}^{T}$$c(t)dt.

Zatem wydajność serca dana będzie wzorem

F = $${\frac{{A}}{{\int_0^T c(t) dt}}}$$.