Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego

Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach postaci ${\frac{{m}}{{n}}}$, gdzie m, n są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to wykonujemy podstawienie:

x = t^N

gdzie N jest wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków postaci ${\frac{{m}}{{n}}}$.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}}}$$.

Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach ${\frac{{1}}{{2}}}$ oraz ${\frac{{1}}{{3}}}$. Wspólnym mianownikiem powyższych ułamków jest 6, wykonujemy więc podstawienie:

x = t⁶.

Stąd dx = 6t⁵dt, $\sqrt{{x}}$ = t³, $\sqrt[3]{{x}}$ = t² i otrzymujemy całkę:

$$\int$$$${\frac{{6 t^5}}{{t^3 + t^2}}}$$dt,

którą dalej liczymy znanymi metodami liczenia całek z funkcji wymiernych.

Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz

• potęg dwumianu ax + b lub
• funkcji homograficznej ${\frac{{ax + b}}{{cx + d}}}$ (gdzie ad - bc $\neq$ 0)

o wykładnikach postaci ${\frac{{m}}{{n}}}$, gdzie m, n sa liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to w pierwszym wypadku wykonujemy podstawienie

ax + b = t^N

a w drugim przypadku:

$${\frac{{ax + b}}{{cx + d}}}$$ = t^N

gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci ${\frac{{m}}{{n}}}$.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{x \sqrt{2x - 10}}}{{2 - \sqrt[3]{2x - 10}}}}$$.

Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęg dwumianu 2x - 10 o wykładnikach ${\frac{{1}}{{2}}}$ oraz ${\frac{{1}}{{3}}}$. Wspólnym mianownikiem powyższych ułamków jest 6, wykonujemy więc podstawienie:

2x - 10 = t⁶.

Stąd 2dx = 6t⁵dt, czyli dx = 3t⁵dt, x = ${\frac{{1}}{{2}}}$t⁶ + 5, $\sqrt{{2x - 10}}$ = t³, $\sqrt[3]{{2x - 10}}$ = t² i otrzymujemy całkę:

$$\int$$$${\frac{{(\frac{1}{2}t^6 + 5) \cdot t^3 \cdot 3t^5}}{{2 - t^2}}}$$dt

którą dalej liczymy znanymi metodami liczenia całek z funkcji wymiernych.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$$\sqrt[3]{{\frac{x + 1}{x - 1}}}$$ ^. $${\frac{{dx}}{{x + 1}}}$$.

Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęgi funkcji homograficznej ${\frac{{x+1}}{{x-1}}}$ o wykładniku ${\frac{{1}}{{3}}}$, wykonujemy więc podstawienie:

$${\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}$$ = t³.

Stąd x = ${\frac{{t^3 + 1}}{{t^3 - 1}}}$, dx = ${\frac{{-6t^2 dt}}{{(t^3 - 1)^2}}}$ i otrzymujemy całkę:

$$\int$$t ^. $${\frac{{1}}{{\frac{t^3 + 1}{t^3 - 1} + 1}}}$$ ^. $${\frac{{-6t^2}}{{(t^3 - 1)^2}}}$$dt,

którą (po uproszczeniu) liczmy dalej znanymi metodami.

Ćwiczenia:

1. $\int$${\frac{{dx}}{{\sqrt{3 + 4x}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{2}}}$$\sqrt{{3+4x}}$ + C
2. $\int$x$\sqrt[3]{{x-4}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{3}}{{7}}}$(x² - x - 12)$\sqrt[3]{{x-4}}$ + C
3. $\int$${\frac{{\sqrt{x}}}{{x-1}}}$dx Odpowiedź: 2$\sqrt{{x}}$ + ln|${\frac{{\sqrt{x} - 1}}{{\sqrt{x} + 1}}}$| + C
4. $\int$${\frac{{dx}}{{\sqrt{x-5} + \sqrt{x-7}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{3}}}$((x - 5)^{${\frac{{3}}{{2}}}$} - (x - 7)^{${\frac{{3}}{{2}}}$}) + C
5. $\int$$\sqrt{{\frac{1-x}{1+x}}}$ ^. ${\frac{{dx}}{{x}}}$ Odpowiedź: ln| 1 - $\sqrt{{1 - x^2}}$| - ln| x| - arcsinx + C