Całki funkcji trygonometrycznych

Wszystkie "normalne" funkcje, w których występują funkcje trygonometryczne daje się zapisać jako odpowiednie kombinacje sinusów i kosinusów, wystarczy więc wiedzieć, w jaki sposób obliczać tego typu całki. Istnieje ogólna metoda, która pozwala radzić sobie z takimi przypadkami - omówimy ją pod koniec paragrafu. Ogólne metody często są niewygodne w użyciu, zaczniemy więc od omówienia pewnych klas funkcji trygonometrzycznych, w przypadku których można stosunkowo łatwo sobie poradzić stosując odpowiednie sztuczki.

Całki postaci $\int$f (x)ⁿdx, gdzie f jest funkcją trygonometryczną (lub jej odwrotnością) a n jest pewną liczbą naturalną. Całki tego typu obliczamy stusując następujące wzory rekurencyjne:

• $\int$sinⁿ(x)dx = - ${\frac{{1}}{{n}}}$sin^n-1(x)cos(x) + ${\frac{{n-1}}{{n}}}$$\int$sin^n-2(x)dx
• $\int$cosⁿ(x)dx = ${\frac{{1}}{{n}}}$cos^n-1(x)sin(x) + ${\frac{{n-1}}{{n}}}$$\int$cos^n-2(x)dx
• $\int$tgⁿ(x)dx = ${\frac{{1}}{{n-1}}}$tg^n-1(x) - $\int$tg^n-2(x)dx
• $\int$ctgⁿ(x)dx = - ${\frac{{1}}{{n-1}}}$ctg^n-1(x) - $\int$ctg^n-2(x)dx
• $\int$${\frac{{1}}{{sin^n (x)}}}$dx = - ${\frac{{1}}{{n-1}}}$${\frac{{1}}{{sin^{n-2}(x)}}}$ctg(x) + ${\frac{{n-2}}{{n-1}}}$$\int$${\frac{{1}}{{sin^{n-2}(x)}}}$dx
• $\int$${\frac{{1}}{{cos^n (x)}}}$dx = ${\frac{{1}}{{n-1}}}$${\frac{{1}}{{cos^{n-2}(x)}}}$tg(x) + ${\frac{{n-2}}{{n-1}}}$$\int$${\frac{{1}}{{cos^{n-2}(x)}}}$dx

Wzorów tych łatwo dowodzi się z wykorzystaniem całkowania przez części i podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Przykład: Udowodnić wzór:

$$\int$$sinⁿ(x)dx = - $${\frac{{1}}{{n}}}$$sin^n-1(x)cos(x) + $${\frac{{n-1}}{{n}}}$$$$\int$$sin^n-2(x)dx.

Oznaczmy I_n = $\int$sinⁿ(x)dx zapiszmy całkę w postaci:

I_n = $$\int$$sin^n-1(x)sin(x)dx.

Całkujemy przez części przyjmując:

u(x) = sin^n-1(x), v'(x) = sinx, skąd u'(x) = (n - 1)sin^n-2(x)cos(x), v(x) = - sin(x).

Stąd:

$$\int$$ I_n =

$$\int$$ =

$$\int \int$$ =

co inaczej można zapisać jako:

I_n = - sin^n-1(x)cos(x) + (n - 1)I_n-2 - (n - 1)I_n.

Po zredukowaniu wyrazu podobnego I_n i podzieleniu obydwu stron przez n otrzymujemy żądaną równość.

Zamiast stosować wzory rekurencyjne można czasem zastosować inne tricki:

Przykład: Obliczyć całkę

$$\int$$sin¹⁷(x)dx.

Ośmiokrotne iterowanie wzoru nie wydaje się dobrym pomysłem; zamiast tego zapiszmy:

$$\int$$sin¹⁷(x)dx = $$\int$$(sin²(x))⁶sin(x)dx = $$\int$$(1 - cos²(x))⁶sin(x)dx

i zastosujmy podstawienie u = cos(x). Stąd du = - sin(x)dx i otrzymujemy:

$$\int$$sin¹⁷(x)dx = - $$\int$$(1 - u²)⁶du,

a więc łatwą do policzenia całkę z wielomianu.

W przypadku stosowania wzorów rekurencyjnych w ostatnim kroku otrzymujemy bądź całkę z funkcji stałej, bądź całkę elementarną z funkcji trygonometrycznej.

Całki postaci $\int$f (Ax)ⁿg(Bx)^mdx, gdzie f oraz g są sinusem i/lub kosinusem. W ogólnym przypadku całki te sprowadzamy do sumy całek wcześniej omówionego typu stosując w tym celu odpowiednie tożsamości trygonometryczne.

W pierwszym kroku redukujemy potęgi używając identyczności:

sin(x)cos(x) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$sin(2x),

sin²(x) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(1 - cos(2x)),

cos²(x) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(1 + cos(2x)).

Najpierw eliminujemy iloczyny postaci sin(Ax)cos(Ax) za pomocą pierwszego wzoru, a potem - przy pomocy dwóch pozostałych - "zmniejszamy o połowę" występujące potęgi. Po tym procesie zostają nam iloczyny postaci f (Ax)g(Bx) gdzie A $\neq$ B. W drugim kroku rozbijamy je używając następujących wzorów:

sin(Ax)sin(Bx) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(cos((A - B)x) - cos((A + B)x)),

cos(Ax)cos(Bx) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(cos((A - B)x) + cos((A + B)x)),

sin(Ax)cos(Bx) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(sin((A - B)x) + sin((A + B)x)).

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$cos²(2x)sin(x)dx.

Stosując powyższe uwagi mamy kolejno:

$$\int \int {\frac{{1}}{{2}}}$$ =

$$\int {\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{1}}{{2}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} \int {\frac{{1}}{{4}}} \int$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} \int {\frac{{1}}{{4}}} \int {\frac{{1}}{{4}}} \int$$ =

Pozostałe całki liczymy już bezpośrednio stosując oczywiste podstawienia u = 4x, v = - 3x i t = 7x dla każdej z nich.

Czasem zamiast redukować wyrażenia postaci sin(Ax)cos(Ax), można pójść krótszą drogą:

• Jeżeli w całce $\int$sinⁿ(Ax)cos^m(Ax)dx liczba m = 2k + 1 jest nieparzysta, to piszemy:
  $$\int$$sinⁿ(Ax)cos^m(Ax)dx = $$\int$$sinⁿ(Ax)(cos²(Ax))^kcos(Ax)dx = $$\int$$sinⁿ(Ax)(1 - sin²(Ax))^kcos(Ax)dx
  i stosujemy podstawienie u = sinAx.
• Jeżeli w całce $\int$sinⁿ(Ax)cos^m(Ax)dx liczba n = 2k + 1 jest nieparzysta, to piszemy:
  $$\int$$sinⁿ(Ax)cos^m(Ax)dx = $$\int$$(sin²(Ax))^kcos^m(Ax)sin(Ax)dx = $$\int$$(1 - cos²(Ax))^kcos^m(Ax)sin(Ax)dx
  i stosujemy podstawienie u = cosAx.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$sin⁵(x)cos²(x)dx.

Stosując się do powyższych uwag mamy kolejno:

$$\int \int$$ =

$$\int$$ =

$$\int$$ =

Dalsze obliczenia łatwo doprowadzić do końca pamiętając o tym, że u = cos(x).

Inny przykład pomysłowego tricku to całki z wyrażeń postaci ${\frac{{tg^n(x)}}{{cos^m(x)}}}$:

• Jeżeli w całce $\int$${\frac{{tg^n(Ax)}}{{cos^m(Ax)}}}$dx liczba m = 2k jest parzysta, to piszemy:
  $$\int$$$${\frac{{tg^n(Ax)}}{{cos^m(Ax)}}}$$dx = $$\int$$$${\frac{{tg^n(Ax)}}{{(cos^2(Ax))^{k-1}}}}$$ ^. $${\frac{{1}}{{cos^2(Ax)}}}$$dx = $$\int$$tgⁿ(Ax) ^. (1 + tg²(Ax))^{k-1 .} $${\frac{{1}}{{cos^2(Ax)}}}$$dx
  i stosujemy podstawienie u = tg(Ax) (wykorzystaliśmy tu równość ${\frac{{1}}{{cos^2(Ax)}}}$ = ${\frac{{sin^2(Ax) + cos^2(Ax)}}{{cos^2(Ax)}}}$ = tg²(Ax) + 1).
• Jeżeli w całce $\int$${\frac{{tg^n(Ax)}}{{cos^m(Ax)}}}$dx liczba n = 2k + 1 jest nieparzysta, to piszemy:
  $$\int$$$${\frac{{tg^n(Ax)}}{{cos^m(Ax)}}}$$dx = $$\int$$(tg²(Ax))^{k .} $${\frac{{1}}{{cos^{m-1}(Ax)}}}$$ ^. $${\frac{{sin(Ax)}}{{sin(Ax)cos(Ax)}}}$$dx = $$\int$$($${\frac{{1}}{{cos^2(Ax)}}}$$ -1) ^. $${\frac{{1}}{{cos^{m-1}(Ax)}}}$$ ^. $${\frac{{sin(Ax)}}{{cos^2(Ax)}}}$$dx
  i stosujemy podstawienie u = ${\frac{{1}}{{cos(Ax)}}}$; wówczas du = - ${\frac{{A sin(Ax)}}{{cos^2(Ax)}}}$.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{tg^5(x)}}{{cos^7(x)}}}$$dx.

Stosując się do powyższych uwag mamy kolejno:

$$\int {\frac{{tg^5(x)}}{{cos^7(x)}}} \int {\frac{{1}}{{cos^6(x)}}} {\frac{{1}}{{cos(x)}}}$$ =

$$\int {\frac{{1}}{{cos^2(x)}}} {\frac{{1}}{{cos^6(x)}}} {\frac{{1}}{{cos(x)}}}$$ =

$$\int$$ =

Dalsze obliczenia łatwo doprowadzić do końca pamiętając o tym, że u = ${\frac{{1}}{{cos(x)}}}$.

Całki postaci $\int$R(sin(x), cos(x))dx, gdzie R jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Podamy ogólną metodę rozwiązywania całek z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych. Metoda ta jest na ogół dość czasochłonna i o ile jest to tylko możliwe, wskazane jest używanie uproszczonych schematów opisanych powyżej. O ile nie jest to możliwe, stosujemy podstawienie:

u = tg($${\frac{{x}}{{2}}}$$).

Wówczas funkcje trygonometryczne zmiennej x wyrażą się - poprzez proste tożsamości trygonometryczne - następującymi wzorami:

• sin(x) = ${\frac{{2u}}{{u^2 + 1}}}$,
• cos(x) = ${\frac{{1 - u^2}}{{u^2 + 1}}}$,
• tg(x) = ${\frac{{2u}}{{1 - u^2}}}$,
• ctg(x) = ${\frac{{1-u^2}}{{2u}}}$,
• dx = ${\frac{{2}}{{u^2 + 1}}}$du.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{sin^2(x) + 13}}{{sin^4(x) + cos^2(x)}}}$$dx.

Stosując uniwersalne podstawienie trygonometryczne otrzymujemy:

$$\int {\frac{{sin^2(x) + 13}}{{sin^4(x) + cos^2(x)}}} \int {\frac{{\frac{4u^2}{(u^2 + 1)^2} + 13}}{{\frac{16u^4}{(u^2 + 1)^4} + \frac{(1-u^2)^2}{(u^2+1)^2}}}} {\frac{{2}}{{u^2 + 1}}}$$ =

$$\int {\frac{{8u^2(u^2 + 1) + 26(u^2 + 1)^3}}{{16u^4 + (1 - u^2)^2 (u^2 + 1)^2}}}$$ =

Dalsze obliczenia sprowadzają się do znalezienia całki z funkcji wymiernej.

Ćwiczenia:

1. $\int$sin⁴(x)dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{4}}}$cos(x)sin(x)(sin²(x) + ${\frac{{3}}{{2}}}$) + ${\frac{{3}}{{8}}}$x + C
2. $\int$${\frac{{dx}}{{cos^3(x)}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{sin(x)}}{{2 cos^2(x)}}}$ + ${\frac{{1}}{{2}}}$ln| tg(${\frac{{1}}{{4}}}$$\pi$ + ${\frac{{1}}{{2}}}$x)| + C
3. $\int$ctg⁶(x)dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{5}}}$ctg⁵(x) + ${\frac{{1}}{{3}}}$ctg³(x) - ctg(x) - x + C
4. $\int$cos(2x)sin(4x)dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{12}}}$cos(6x) - ${\frac{{1}}{{4}}}$sin(2x) + C
5. $\int$sin(5x)sin(2x)dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{6}}}$sin(3x) - ${\frac{{1}}{{14}}}$sin(7x) + C
6. $\int$sin(x)tg(x)dx Odpowiedź: ln| tg(${\frac{{1}}{{4}}}$x + ${\frac{{1}}{{2}}}$x)| - sin(x) + C
7. $\int$sin⁵(x)cos²(x)dx Odpowiedź: $\left(\vphantom{sin^6(x) - \frac{sin^4(x)}{5} - \frac{4 sin^2(x)}{15} - \frac{8}{15} }\right.$sin⁶(x) - ${\frac{{sin^4(x)}}{{5}}}$ - ${\frac{{4 sin^2(x)}}{{15}}}$ - ${\frac{{8}}{{15}}}$$\left.\vphantom{sin^6(x) - \frac{sin^4(x)}{5} - \frac{4 sin^2(x)}{15} - \frac{8}{15} }\right)$${\frac{{cos(x)}}{{7}}}$ + C
8. $\int$${\frac{{sin^3(x) + cos^3(x)}}{{sin^2(x) - sin(x) cos(x) + cos^2(x)}}}$dx Odpowiedź: sin(x) - cos(x) + C
9. $\int$${\frac{{sin(x) cos(x)}}{{1 + sin^4(x)}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{2}}}$arctg(2tg²(x) + 1) + C
10. $\int$${\frac{{sin^2(x) cos^2(x)}}{{sin^8(x) + cos^8(x)}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{4}}}$$\left(\vphantom{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} arctg \left( \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 + 2\sq... ...2 - \sqrt{2}} arctg \left( \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \right) }\right.$$\sqrt{{2 + \sqrt{2}}}$arctg$\left(\vphantom{ \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}}\right.$${\frac{{tg(2x)}}{{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}}}$$\left.\vphantom{ \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}}\right)$ - $\sqrt{{2 - \sqrt{2}}}$arctg$\left(\vphantom{ \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} }\right.$${\frac{{tg(2x)}}{{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}}}$$\left.\vphantom{ \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} }\right)$$\left.\vphantom{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} arctg \left( \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 + 2\sq... ...2 - \sqrt{2}} arctg \left( \frac{tg(2x)}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \right) }\right)$ + C