Niewymierność pierwiastków z liczb pierwszych

Jak udowodnić, że pierwiastki z 2, 3, 5 lub, ogólniej, z dowolnej liczby pierwszej są liczbami niewymiernymi? Niech p będzie liczbą pierwszą (tzn. jeśli p jest dzielnikiem iloczynu a ^. b, to p dzieli co najmniej jeden z czynników - a lub b). Co by było, gdyby x = $\sqrt{{p}}$ było liczbą wymierną? Można by było zapisać x jako ułamek nieskracalny:

x = $${\frac{{m}}{{n}}}$$

z naturalnymi n, m. Z określenia liczby x wynika, że x² = p, czyli

$${\frac{{m^2}}{{n^2}}}$$ = 2

czyli

m² = p ^. n².

Jak widać, liczba m² dzieli się przez p, ale jest iloczynem: m² = m ^. m, więc jeden z czynników (m albo m albo oba na raz :-) ) musi się dzielić przez p. Niech m = k ^. p. Wstawiamy tę wartość do wyprowadzonej równości:

(pk)² = pn²

skąd

(p²) ^. (k²) = pn²,

dzielimy obustronnie przez p:

p ^. k² = n²

i okazuje się - na tej samej zasadzie, co w przypadku m - że n dzieli się przez p. To oznacza, że i licznik, i mianownik nieskracalnego ułamka m/n dzielą się przez p - czyli ułamek jest skracalny. Z zalożeń wywnioskowaliśmy zdanie sprzeczne z założeniami. Obliczenia są w porządku, więc sprzeczność bierze się z założenia, że x można zapisać jako ułamek nieskracalny - czyli z założenia, że x jest liczbą wymierną.

Ten dowód dla p = 2 przypisywany jest Pitagorasowi.