Ułamek 0,(9)

Nieskończony ułamek dzięsietny 0,(9) jest (z definicji) sumą szeregu geometrycznego

$${\frac{{9}}{{10}}}$$ + $${\frac{{9}}{{100}}}$$ + $${\frac{{9}}{{1000}}}$$ +...

o pierwszym wyrazie a = 9/10 i ilorazie q = 1/10, więc

0,(9) = $${\frac{{9}}{{10}}}$$ ^. $${\frac{{1}}{{1 - \frac{1}{10}}}}$$ = $${\frac{{9}}{{10}}}$$ ^. $${\frac{{10}}{{9}}}$$ = 1

Ten rezultat jest powszechnie znany od czasu, gdy w 1584 roku ułamki dziesiętne wprowadził w Europie do użytku Simon Stevin (na świecie - od 1427, al-Kaszi). Rezultat powinien znać każdy absolwent czwartej klasy szkoły podstawowej. Jeśli juz wiemy, co oznacza napis 0,(9), to umiemy wykonywać działania z tą liczba i wartość 0,(9) można obliczyś sprytniej:

9 ^. 0,(9) = (10 - 1) ^. 0,(9) = 9,(9) - 0,(9) = 9

0,(9) = 9/9 = 1.

Oczywista równość 0,(9) = 1 - jednak i o dziwo - budzi wielkie namiętności i prowadzi do kłótni, a im mniej ktoś wie i rozumie, tym kategoryczniej się wypowiada...

Aby poznać tajniki magicznej równości 0,(9) = 1 nie trzeba nawet skończyć szkoły podstawowej, wystarczy zapoznać się z zawartością podręcznika do jej czwartej klasy. Jest tam rozważany właśnie problem liczby, której zapisem jako ułamek dziesiętny jest 0,(9). Wygląda to jakoś tak: gdyby 0,(9) było mniejsze od 1, to jaka byłaby między nimi różnica? Mniejsza niż między 1 i 0,9; mniejsza niż między 1 a 0,99; mniejsza niż między 1 a 0,999 - słowem różnica jest mniejsza niż każdy ułamek 0,000000...001 - dowolnie długi. Zatem różnica wynosi 0.

Oczywiście to, co opisujemy, to wyjaśnienie, które kiedyś występowało w podręcznikach do szkoły podstawowej. Jeśli to wyjaśnienie zapisać ściśle, to okaże się, że zawiera ono opis dowodu, że dla każdej liczby dodatniej $\epsilon$ istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdej liczby naturalnej n > N zachodzi nierówność:

| 1 - $$\sum_{{k=1}}^{n}$$$${\frac{{9}}{{10^k}}}$$| < $$\epsilon$$

Jak dobrze wiemy, właśnie w taki sosób dowodzi się, że coś jest granicą jakiegoś ciągu (nawet sum częściowych). I, naturalnie, nieskończoność zbioru liczb rzeczywistych nie ma z tym nic wspólnego...

Załóżmy jednak przez chwilę, że 0,(9) nie równa się 1. Jeśli te liczby są różne, to różnica między nimi musi być niezerowa. Oznaczmy ją literką r:

r = 1 - 0,(9)

i przyjrzyjmy się dokładniej tej różnicy. Zgodzimy się chyba z nierównościami:

0, 9 < 0,(9) < 1

- w takim razie badana różnica r = 1 - 0,(9) jest mniejsza od 1 - 0, 9 = 0, 1. Jeszcze jeden krok:

0, 99 < 0,(9) < 1,

więc r < 1 - 0, 99 = 0, 01, itd. To znaczy: jeśli wezmę pod uwagę skończony ułamek dziesiętny 0, 9...9 z n dziewiątkami, to uzyskam w rezultacie nierówność

r < 1 - 0, 9...9 = $${\frac{{1}}{{10^n}}}$$

Co się okazuje? Liczba r jest dodatnia i mniejsza od każdej liczby postaci 1/(10ⁿ). Każdej! Ale liczba mniejsza od 1/(10ⁿ) jest ułamkiem dziesiętnym postaci 0, 0...0... z n - 1 zerami po przecinku. Gdy ktoś twierdzi, że r nie jest zerem, niech w takim razie poda, na którym miejscu w rozwinięciu r na ułamek dziesiętny nieskończony jest pierwsza cyfra różna od zera. Co można zaproponować? Miejsce milionowe? No to ja wezmę n = 2000000 i okazuje się, że nie, że po przecinku jest 1999999 zer. Miliardowe? To ja wezmę n = 2000000001 i okazuje się, ze liczba r ma po przecinku dwa miliardy zer. Ogólnie, jeśli zaproponuje się do sprawdzenia dowolne miejsce dziesiętne m, to ja użyję n = 2m + 1 i widzę, że na miejscu m (i dłuuuugo dalej...) jest cyfra zero. Dla dowolnego numeru m miejsca dziesiętnego cyfra w rozwinięciu liczby r na ułamek dziesiętny, stojąca na tym miejscu jest równa zero. Czyli każda cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby r jest równa zero. Bez względu na to, czy ktoś wszystkie dziewiątki wypisał czy nie, ja właśnie udowodniłem, że każda cyfra jest zerem. Pozostaje zastanowić się, ile to jest r = 0,(0). Spróbujmy na przykład dodać ją do jakiejś liczby...

Fakt, że ktoś gdzieś nie zdążył wypisać nieskończenie wielu dziewiątek w zapisie ułamka 0,(9) nie ma wpływu na wartość liczby 0,(9) ani na równość 0,(9) = 1 - dokładnie na tej samej zasadzie, jak fakt, że ktoś gdzieś nie zdążył napisać do końca cyfry 2 nie powoduje, ze 2 < 1 + 1. I na tej samej zasadzie jak to, że zmazanie napisu "5" z tablicy nie spowoduje, że liczba 5 przestanie istnieć, nie spowoduje, że wszyscy ludzie będą mieli po cztery palce.