Rugownik

Wygodnym i użytecznym pojęciem w teorii wielomianów jest rugownik. Zanim podamy jego formalną definicję, udowodnijmy następujący lemat:

Lemat: Dwa wielomiany f, g $\in$ K[X], gdzie K jest dowolnym ciałem, są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wielomiany f₁, g₁ $\in$ K[X], jeden z nich niezerowy, deg f₁ < deg f oraz deg g₁ < ]degg takie, że:

f₁g = g₁f.

Dowód: Dla dowodu warunku koniecznego załóżmy, że NWD(f, g) = h oraz h $\neq$ 1. Wtedy wystarczy wziąć f₁ = ${\frac{{f}}{{h}}}$ oraz g₁ = ${\frac{{g}}{{h}}}$.

Dla dowodu dostateczności załóżmy, że f₁, g₁ $\in$ K[X], są takimi wielomianami, że jeden z nich jest niezerowy, deg f₁ < deg f, deg g₁ < ]degg oraz że f₁g = g₁f. Niech h₁, h₂ $\in$ K[X] będą takimi wielomianami, że:

fh₁ + gh₂ = NWD(f, g).

Wówczas f₁(fh₁ + gh₂) = f₁fh₁ + f₁gh₂ = f₁fh₁ + g₁fh₂ = f (f₁h₁ + g₁h₂). Ponieważ deg f₁ > 0 i deg fh₁ + gh₂ > 0, więc deg f (f₁h₁ + g₁h₁) > 0. Ponadto oczywiście deg f (f₁h₁ + g₁h₁) $\geq$ deg f. Skoro więc deg f₁ < deg f, to deg(fh₁ + gh₂) = deg(NWD(f, g)) > 1.

Dla dowolnej pary wielomianów f, g $\in$ K[X]:

f (X) = a₀X^s +...+ a_s,

g(X) = b₀X^t +...+ b_t

rugownikiem R(f, g) nazywamy wyznacznik:

$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccccccc} a_0 & a_1 & \ldots ... ...& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & b_0 & b_1 & \ldots & b_t \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ccccccc} a_0 & a_1 & \ldots & a_s & 0 & \ldots & ... ...& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & b_0 & b_1 & \ldots & b_t \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccccccc} a_0 & a_1 & \ldots & a_... ...dots \\ 0 & 0 & \ldots & b_0 & b_1 & \ldots & b_t \end{array} }\right\vert$$

Rugowniki stosuje się - na przykład - przy rozwiązywaniu układów równań algebraicznych. Podstawową własność rugownika, jaka jest przy tym wykorzystywana, wysławia następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Wielomiany f i g nie są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy ich rugownik jest równy zeru.

Dowód: W myśl lematu, dwa wielomiany nie są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wielomiany f₁, g₁ $\in$ K[X], jeden z nich niezerowy, deg f₁ < deg f oraz deg g₁ < ]degg takie, że f₁g = g₁f. Ale wówczas dwa wiersze macierzy rugownika są liniowo zależne, a więc rugownik musi być równy zeru.