Wielomiany symetryczne i wzory Viéte'y

Niech f = f (X₁, X₂,..., X_n) będzie dowolnym wielomianem n zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy zamieniać kolejnością za pomocą permutacji $\sigma$ zbioru n-elementowego:

X₁ $$\mapsto$$ X_$\sigma$(1), X₂ $$\mapsto$$ X_$\sigma$(2),..., X_n $$\mapsto$$ X_$\sigma$(n)

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian $\tilde{{f}}$ = f (X_$\sigma$(1), X_$\sigma$(2),..., X_$\sigma$(n)). Jeżeli tak otrzymany wielomian będzie identyczny z wyjściowym wielomianem, to wtedy wielomian f nazwiemy wielomianem symetrycznym ze wzlgędu na permutację $\sigma$. Jeżeli wielomian jest symetryczny ze względu na dowolna permutację jego zmiennych, to nazywamy go krótko wielomianem symetrycznym.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom. Nietrudno się przekonać, że każdy z wielomianów:

X₁ + X₂ + X₃, X₁² + X₂² + X₃², X₁X₂ + X₁X₃ + X₂X₃

jest wielomianem symetrycznym. Faktycznie, chcąc zweryfikować symetryczność na przykład ostatniego z nich, rozważamy sześć permutacji zbioru trzyelementowego, które dają nam następujące sześć wielomianów:

X₁X₂ + X₁X₃ + X₂X₃, X₁X₃ + X₁X₂ + X₃X₂, X₂X₁ + X₂X₃ + X₁X₃,

X₂X₃ + X₂X₁ + X₃X₁, X₃X₁ + X₃X₂ + X₁X₂, X₃X₂ + X₃X₁ + X₂X₁

i łatwo się przekonujemy, że każdy z nich równy jest wyjściowemu wielomianowi.

Rozważmy teraz wielomian n + 1 zmiennych f dany wzorem:

f (T, X₁,..., X_n) = (T - X₁)(T - X₂)...(T - X_n).

Wymnóżmy wszystkie nawiasy po prawej stronie i uporządkujmy wyrazy według malejących potęg T:

+ S₂(X₁,..., X_n)T^n-2 +...+ (- 1)ⁿS_n(X₁,..., X_n).

S₁, S₂,..., S_n są oczywiście wielomianami zmiennych X₁,..., X_n. Zauważmy, że są to wielomiany symetrzyczne; w rzeczy samej, jakakolwiek permutacja zmiennych X₁,..., X_n nie zmienia wielomianu f (T, X₁,..., X_n), a więc w szczególności nie może zmienić współczynników stojących przy kolejnych potęgach T. Prosty dowód indukcyjny pozwala sprawdzić, że wielomiany S₁,..., S_n wyrażają się wzorami:
S₁ = X₁ + X₂ +...+ X_n
S₂ = X₁X₂ + X₁X₃ +...+ X₁X_n +...+ X_n-1X_n
S₃ = X₁X₂X₃ + X₁X₂X₄ +...+ X_n-2X_n-1 + X_n
$\vdots$
S_n = X₁X₂...X_n
Zatem wielomian S_r(X₁,..., X_n) jest sumą wszystkich możliwych jednomianów postaci:

X_k1X_k2...X_kr,

gdzie indeksy k₁,..., k_r przyjmują wartości całkowite od 1 do n, z których żadne dwie nie są sobie równe. Wielomiany te nazywamy wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Wielomian jednej zmiennej jest jednoznacznie wyznaczony (z dokładnością do stałej) przez swoje pierwiastki, zatem możemy patrzeć na współczynniki wielomianu jako na wielomiany, których zmiennymi są pierwiastki. Okazuje się, że można je łatwo wyznaczyc w terminach wielomianów symetrycznych podstawowych. Dokładniej, jeżeli c₁,..., c_n sa pierwiastkami wielomianu:

g(t) = a₀tⁿ + a₁t^n-1 +...+ a_n-1t + a_n

to wówczas:
${\frac{{a_1}}{{a_0}}}$ = - S₁(c₁, c₂,..., c_n)
${\frac{{a_2}}{{a_0}}}$ = S₂(c₁, c₂,..., c_n)
${\frac{{a_3}}{{a_0}}}$ = - S₃(c₁, c₂,..., c_n)
$\vdots$
${\frac{{a_n}}{{a_0}}}$ = (- 1)ⁿS_n(c₁, c₂,..., c_n).
Faktycznie, zauważmy że:

g(t) = a₀(t - c₁)...(t - c_n)

i zastosujmy do powyższego wielomianu wyprowadzone wcześniej wzory.

W szczególności wzory te dla wielomianu stopnia dwa:

g(t) = a₀t² + a₁t + a₂

zapiszą się jako:
${\frac{{a_1}}{{a_0}}}$ = - c₁ - c₂
${\frac{{a_2}}{{a_0}}}$ = c₁c₂,
dla wielomianu stopnia trzy:

g(t) = a₀t³ + a₁t² + a₂t + a₃

jako:
${\frac{{a_1}}{{a_0}}}$ = - c₁ - c₂ - c₃
${\frac{{a_2}}{{a_0}}}$ = c₁c₂ + c₁c₃ + c₂c₃
${\frac{{a_3}}{{a_0}}}$ = - c₁c₂c₃ itd.