Zasadnicze twierdzenie algebry orzeka, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte - innymi słowy, że każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych pierwiastek. Po raz pierwszy zostało ono sformułowane przez Girarda w 1629 roku, a pełny dowód jako pierwszy podał Gauss w 1799. Zasadnicze twierdzenie algebry jest "zasadnicze" tylko z historycznego punktu widzenia i obecnie przyjęta nazwa wydaje się dziś nieco przesadzona, pochodzi jednak z czasów, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków. Przeciętny student matematyki poznaje w toku swych studiów przynajmniej dwa dowody tego twierdzenia: na wykładzie z analizy zespolonej, gdzie twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia Liouville'a i na wykładzie z algebry, gdzie dowód ilustruje "jak działa" grupa Galois rozszerzenia . Istnieje całe mnóstwo dowodów zasadniczego twierdzenia - my podamy jeden z nich, korzystający z twierdzenia Weierstrassa, które jest ważnym, ale stosunkowo prostym faktem z analizy matematycznej, znanym w zasadzie licealistom (no, może nie wszystkim... :) ).
Twierdzenie Weierstrassa: Funkcja ciągła na zbiorze zwartym o wartościach rzeczywistych przyjmuje wartości największą i najmniejszą.
Dowód zasadniczego twierdzenia algebry opiera się teraz na dwóch lematach:
Lemat 1: Niech P(Z) = anZn +...+ a1Z + a0 [Z], | an = 1|, niech p : będzie dana wzorem p(z) = | P(z)|. Wówczas p osiąga kres dolny na zbiorze .
Dowód: Wobec nierówności trójkąta dla modułu:
p(z) | = | | P(z)| = | anzn +...+ a1z + a0| = | zn| . | an + +...+ | | |
| z|n(1 - -...- ) | z|n(1 - ), |
Lemat 2: Niech P(Z) = anZn +...+ a1Z + a0 [Z], | an = 1|, niech p : będzie dana wzorem p(z) = | P(z)|. Niech ponadto p(z0) = inf{p(z) : z }. Wówczas P(z0) = 0.
Dowód: Przypuśćmy, że
P(z0)
neq0,
P(z0) = m,
m +. Niech
(0, min{1, m}). Niech
z K(z0,) (w ten sposób oznaczamy brzeg koła o środku
z0 i promieniu ). Wówczas
z = z0 + ei. Mamy:
Pokażemy, że dla pewnej liczby j {1,..., n}, wj(z0) 0. Istotnie, przypuśćmy że w1(z0) =...= wn(z0) = 0. Wówczas P jest stały na K(z0,), a więc wielomian Q(Z) = P(Z) - P(z0) stopnia dodatniego ma nieskończenie wiele pierwiastków, co jest sprzecznością.
Niech zatem k = min{j {1,..., n} : wj(z0) 0}. Mamy więc:
Oczywiście z Lematu 2 wynika natychmiast zasadnicze twierdzenie algebry.