Tożsamości trygonometryczne

W tym ustępie podajemy około 30 tożsamości trygonometrycznych, których biegłe opanowanie pamięciowe, wraz z dowodami, uważamy za niezbędne. Tożsamości te dzielą się na kilka grup. Poszczególne tożsamości mają nazwy, których brzmienie jest niekiedy podobne, np. "sinus sumy" i "suma sinusów". Ucząc się ich, należy zwracać uwagę na kolejność działań, gdyż takie wyrażenia jak sin($\alpha$ + $\beta$) i sin$\alpha$ + sin$\beta$ są na ogół nierówne.

Funkcje sumy kątów.

Twierdzenie: Funkcje trygonometryczne sumy dwóch kątów wyrażają się następującymi wzorami:

• sinus sumy: sin($\alpha$ + $\beta$) = sin$\alpha$cos$\beta$ + cos$\alpha$sin$\beta$
• cosinus sumy: cos($\alpha$ + $\beta$) = cos$\alpha$cos$\beta$ - sin$\alpha$sin$\beta$
• tangens sumy: tg($\alpha$ + $\beta$) = ${\frac{{tg \alpha + tg \beta}}{{1 - tg \alpha tg \beta}}}$

Pierwsze dwa wzory są prawdziwe dla wszelkich $\alpha$ i $\beta$. Wzór na tangens sumy jest prawdziwy dla wszystkich $\alpha$,$\beta$, oprócz tych, dla których tg$\alpha$, tg$\beta$ lub tg($\alpha$ + $\beta$) jest nieokreślony.

Dowód: Rozważymy następujące przypadki:

Przypadek, gdy jeden z kątów $\alpha$,$\beta$ jest zerowy lub prosty. Wówczas prawdziwośc wzorów jest oczywista albo wynika bezpośrednio ze wzorów redukcyjnych.

Przypadek, gdy $\alpha$ i $\beta$ należą do I ćwiartki. Wówczas $\alpha$ + $\beta$ należy do I lub II ćwiartki:

W układzie OXY kreślimy kąt $\alpha$ w położeniu standardowym, a kąt $\beta$ kreślimy tak, aby półprosta a będąca końcowym ramieniem kąta $\alpha$, była jednocześnie początkowym ramieniem kąta $\beta$. Wówczas półprosta b będąca końcowym ramieniem kąta $\beta$, jest jednocześnie końcowym ramieniem kąta $\alpha$ + $\beta$ i kąt ten ma położenie standardowe. Przyjmujemy następujące oznaczenia:

• na półprostej b obieramy punkt M różny od O,
• rzut punktu M na oś OX oznaczamy A,
• rzut puntu M na półprostą a oznaczamy D,
• rzut punktu D na oś OX oznaczamy G,
• rzut punktu D na odcinek $\overline{{AM}}$ oznaczamy H.

Zgodnie z definicją sinusa jest sin($\alpha$ + $\beta$) = ${\frac{{miara \overrightarrow{AM}}}{{OM}}}$. Ponieważ $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{AH}$ + $\overrightarrow{HM}$ i wektory $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{HM}$ są skierowane zgodnie z Oy, więc miara$\overrightarrow{AM}$ = AH + HM.

$$\alpha \beta {\frac{{miara \overrightarrow{AM}}}{{OM}}} {\frac{{AH + HM}}{{OM}}}$$ =

$${\frac{{GD + HM}}{{OM}}} {\frac{{GD}}{{OM}}} {\frac{{HM}}{{OM}}}$$ =

$${\frac{{GD}}{{OD}}} {\frac{{OD}}{{OM}}} {\frac{{HM}}{{MD}}} {\frac{{MD}}{{OM}}}$$ =

Ponieważ ${\frac{{GD}}{{OD}}}$ = sin$\alpha$, ${\frac{{OD}}{{OM}}}$ = cos$\beta$, $\angle$HMD = $\angle$GOD = $\alpha$, skąd ${\frac{{HM}}{{MD}}}$ = cos$\alpha$ i wreszcie ${\frac{{MD}}{{OM}}}$ = sin$\beta$, więc ${\frac{{GD}}{{OD}}}$ ^. ${\frac{{OD}}{{OM}}}$ + ${\frac{{HM}}{{MD}}}$ ^. ${\frac{{MD}}{{OM}}}$ = sin$\alpha$cos$\beta$ + cos$\alpha$sin$\beta$, co dowodzi prawdziwości wzoru na sinus sumy.

W dowodzie wzoru na cosinus sumy korzystamy z tego, że $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{OG}$ + $\overrightarrow{GA}$ = $\overrightarrow{OG}$ - $\overrightarrow{AG}$. Wektory $\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{AG}$ są skierowane zgodnie z osią OX, więc miara$\overrightarrow{OA}$ = OG - AG

$$\alpha \beta {\frac{{miara \overrightarrow{OA}}}{{OM}}} {\frac{{OG - AG}}{{OM}}}$$ =

$${\frac{{OG}}{{OM}}} {\frac{{AG}}{{OM}}} {\frac{{OG}}{{OM}}} {\frac{{HD}}{{OM}}}$$ =

$${\frac{{OG}}{{OD}}} {\frac{{OD}}{{OM}}} {\frac{{HD}}{{MD}}} {\frac{{MD}}{{OM}}}$$ =

Dzięki związkom wymienionym powyżej, otrzymane wyrażenie równa się cos$\alpha$cos$\beta$ - sin$\alpha$sin$\beta$, co dowodzi prawdziwości wzoru na cosinus sumy.

Przypadek, gdy $\alpha$ lub $\beta$ nie należą do I ćwiartki. Przypadek taki sprowadza się do poprzedniego za pomocą wzorów redukcyjnych.

Wzór na tangens sumy wynika bezpośrednio ze wzorów na sinus i cosinus sumy:

tg($$\alpha$$ + $$\beta$$) = $${\frac{{sin (\alpha + \beta)}}{{cos (\alpha + \beta)}}}$$ = $${\frac{{sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta}}{{cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta}}}$$.

W otrzymanym ułamku dzielimy licznik i mianownik przez cos$\alpha$cos$\beta$ i otrzymujemy:

$${\frac{{\frac{sin \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta} + \frac... ...a}{cos \alpha cos \beta} - \frac{sin \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}}}$$ = $${\frac{{tg \alpha + tg \beta}}{{1 - tg \alpha tg \beta}}}$$

co kończy dowód.

Funkcje różnicy kątów.

Zastępując we wzorach na funkcje sumy kątów kąt $\beta$ kątem - $\beta$ i stosując wzory redukcyjne, otrzymujemy:

• sinus różnicy: sin($\alpha$ - $\beta$) = sin$\alpha$cos$\beta$ - cos$\alpha$sin$\beta$
• cosinus różnicy: cos($\alpha$ - $\beta$) = cos$\alpha$cos$\beta$ + sin$\alpha$sin$\beta$
• tangens różnicy: tg($\alpha$ - $\beta$) = ${\frac{{tg \alpha - tg \beta}}{{1 + tg \alpha tg \beta}}}$

Funkcje kąta podwójnego.

Zastępując we wzorach na funkcje sumy kątów kąt $\beta$ kątem $\alpha$ otrzymujemy:

• sinus kąta podwójnego: sin2$\alpha$ = 2sin$\alpha$cos$\alpha$
• cosinus kąta podwójnego: cos2$\alpha$ = cos²$\alpha$ - sin²$\alpha$
• tangens kąta podwójnego: tg2$\alpha$ = ${\frac{{2 tg \alpha}}{{1 - tg^2 \alpha}}}$

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" można cosinus kąta podwójnego wyrazić w postaciach:

• cos2$\alpha$ = 1 - 2sin²$\alpha$
• cos2$\alpha$ = 2cos²$\alpha$ - 1

Funkcje połowy kąta.

Jeśli we wzorach na funkcje kąta podwójnego zastąpimy kąt $\alpha$ kątem ${\frac{{\alpha}}{{2}}}$, to otrzymamy wzory:

sin$$\alpha$$ = 2sin$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$cos$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$

cos$$\alpha$$ = cos²$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$ - sin²$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$

tg$$\alpha$$ = $${\frac{{2 tg \frac{\alpha}{2}}}{{1 - tg^2 \frac{\alpha}{2}}}}$$

cos$$\alpha$$ = 1 - 2sin²$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$

cos$$\alpha$$ = 2cos²$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$ - 1

Z ostatnich dwóch równości otrzymujemy:

• cosinus połowy kąta: cos${\frac{{\alpha}}{{2}}}$ = $\pm$$\sqrt{{\frac{1 + cos \alpha}{2}}}$
• sinus połowy kąta: sin${\frac{{\alpha}}{{2}}}$ = $\pm$$\sqrt{{\frac{1 - cos \alpha}{2}}}$
• tangens połowy kąta: tg${\frac{{\alpha}}{{2}}}$ = $\pm$$\sqrt{{\frac{1 - cos \alpha}{1 + cos \alpha}}}$

We wzorach tych występuje znak $\pm$, gdyż oba znaki są możliwe i wybrać należy znak + lub - zależnie od tego, w której ćwiartce leży kąt ${\frac{{\alpha}}{{2}}}$. Tangens połowy kąta można też wyrazić przez tangens kąta, rozwiązując równanie tg$\alpha$ = ${\frac{{2 tg \frac{\alpha}{2}}}{{1 - tg^2 \frac{\alpha}{2}}}}$ względem tg${\frac{{\alpha}}{{2}}}$:

• tg${\frac{{\alpha}}{{2}}}$ = ${\frac{{-1 \pm \sqrt{1 + tg^2 \alpha}}}{{tg \alpha}}}$

Wadą powyższych wzorów jest dwoistość znaku i postać niewymierna (pierwiastek). Wolne od tych wad są wzory:

• tg${\frac{{\alpha}}{{2}}}$ = ${\frac{{1 - cos \alpha}}{{sin \alpha}}}$
• tg${\frac{{\alpha}}{{2}}}$ = ${\frac{{sin \alpha}}{{1 + cos \alpha}}}$

Dowód: Udowodnimy pierwszy ze wzorów - drugi dowodzi się analogicznie:

tg$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$ = $${\frac{{sin \frac{\alpha}{2}}}{{cos \frac{\alpha}{2}}}}$$ = $${\frac{{2 sin \frac{\alpha}{2} sin \frac{\alpha}{2}}}{{2 cos \frac{\alpha}{2} sin \frac{\alpha}{2}}}}$$ = $${\frac{{2 sin^2 \frac{\alpha}{2}}}{{2 sin \frac{\alpha}{2} cos \frac{\alpha}{2}}}}$$ = $${\frac{{1 - cos \alpha}}{{sin \alpha}}}$$.

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych.

Twierdzenie: Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych wyrażają się wzorami:

• suma sinusów sin$\alpha$ + sin$\beta$ = 2sin${\frac{{\alpha + \beta}}{{2}}}$cos${\frac{{\alpha - \beta}}{{2}}}$
• suma cosinusów cos$\alpha$ + cos$\beta$ = 2cos${\frac{{\alpha + \beta}}{{2}}}$cos${\frac{{\alpha - \beta}}{{2}}}$
• suma tangensów tg$\alpha$ + tg$\beta$ = ${\frac{{sin (\alpha + \beta)}}{{cos \alpha cos \beta}}}$
• różnica sinusów sin$\alpha$ - sin$\beta$ = 2cos${\frac{{\alpha + \beta}}{{2}}}$sin${\frac{{\alpha - \beta}}{{2}}}$
• różnica cosinusów cos$\alpha$ + cos$\beta$ = - 2sin${\frac{{\alpha + \beta}}{{2}}}$sin${\frac{{\alpha - \beta}}{{2}}}$
• różnica tangensów tg$\alpha$ - tg$\beta$ = ${\frac{{sin (\alpha - \beta)}}{{cos \alpha cos \beta}}}$

Dowód: Udowodnimy tylko pierwszy zw wzorów - pozostałe dowodzi się analogicznie. Do dwóch danych liczb $\alpha$, $\beta$ można zawsze dobrać takie dwie liczby x, y, że

$$\alpha$$ = x + y,$$\beta$$ = x - y.

Liczbami tymi są

x = $${\frac{{\alpha + \beta}}{{2}}}$$, y = $${\frac{{\alpha - \beta}}{{2}}}$$.

Korzystając ze wzorów na funkcję sumy i różnicy kątów mamy:

$$\alpha \beta$$ = sin(x + y) + sin(x - y) =

= sinxcosy + cosxsiny + sinxcosy - cosxsiny =

$${\frac{{\alpha + \beta}}{{2}}} {\frac{{\alpha - \beta}}{{2}}}$$ =

Pozostałe tożsamości.

Korzystając z podstawowych tożsamości wypowadzonych powyżej (oraz - w czterech ostatnich przypadkach - także z zasady indukcji matematycznej) z łatwością dowodzi się następujących, pożytecznych wzorów:

• sin⁴y - cos⁴y = 2sin²y - 1
• tgxsin2x = 2sin²x
• ${\frac{{1}}{{1 - sin x}}}$ + ${\frac{{1}}{{1 + sin x}}}$ = ${\frac{{2}}{{cos^2 x}}}$
• ${\frac{{sin 5x + sin 3x}}{{cos 5x + cos 3x}}}$ = tg4x
• tg(45^o - ${\frac{{x}}{{2}}}$) + tgx = ${\frac{{1}}{{cos x}}}$
• tg(45^o + ${\frac{{x}}{{2}}}$) - tgx = ${\frac{{1}}{{cos x}}}$
• ${\frac{{sin x}}{{1 + cos x}}}$ = ${\frac{{1 - cos x}}{{sin x}}}$
• tg(45^o + x)tg(45^o - x) = 1
• cosx + sinx = $\sqrt{{2}}$sin(45^o + x)
• cosx - sinx = $\sqrt{{2}}$cos(45^o + x)
• ctgx + tgx = ${\frac{{2}}{{sin 2x}}}$
• ctgx - tgx = 2ctg2x
• ${\frac{{1 + tg x}}{{1 - tg x}}}$ = tg(45^o + x)
• ${\frac{{ctg x + 1}}{{ctg x - 1}}}$ = ctg(45^o - x)
• 1 + cosx + cos2x +...+ cosnx = cos${\frac{{n x sin \frac{n+1}{2} x}}{{2 sin \frac{x}{2}}}}$
• sinx + sin2x +...+ sinnx = sin${\frac{{n x sin \frac{n+1}{2} x}}{{2 sin \frac{x}{2}}}}$
• cosx + cos3x + cos5x +...+ cos(2n - 1)x = ${\frac{{sin 2n x}}{{2 sin x}}}$
• sinx + sin3x + sin5x +...+ sin(2n - 1)x = ${\frac{{sin^2 n x}}{{sin x}}}$