Pytania o "całkę z tangensa" należą do jednych z najczęściej zadawanych na łamach pl.sci.matematyki... Jest ograniczony zasób funkcji, z których można "łatwo i przyjemnie" policzyć całki, więc są i "zbiory zadań z rozwiązaniami" z analizy matematycznej, z których można wykuć na pamięć rozwiazania zadań i mieć pewność, iż w każdym możliwym zadaniu egzaminacyjnym będzie co najwyżej suma znanych całek pomnożonych przez stałe. Można zatem odnieść wrażenie, że w procesie kształcenia na liczenie całek kładzie się przesadny nacisk; z powodów opisanych powyżej umiejętność całkowania staje się sztuką dla sztuki, choć - w to nie wątplimy - jest to pożyteczne ćwiczenie pamięci :) Podkreślmy tu to, czego Czytelnik już się domyśla - że autorzy FAQ nie lubią liczyć całek. Ale umieją to robić, ba - nie wyobrażają sobie matematyka, który by tego nie potrafił... Niniejszy poradnik ma ułatwić wykucie... ooops! zapoznanie się z podstawowymi metodami całkowania i został stworzony w oparciu o zbiór zadań W. Krysickiego i L. Włodarskiego, "Analiza matematyczna w zadaniach", część I, PWN, Warszawa 1997.
Z całkami nieoznaczonymi wiąże się pojęcie całki oznaczonej, które otwiera całkiem nowy dział matematyki, wszelako ze względów dydaktycznych autorzy FAQ postanowili połączyć go z rozdziałem poświęconym całkom nieoznaczonym. Wydaje się, że w ostatnich latach rachunek całkowy niemal całkowicie zniknął z programów szkół średnich i obecnie wykładany jest wyłącznie na kursach uniwersyteckich, gdzie podaje się go w ścisłej, "akademickiej" formie. Niniejszy wykład dotyczący całek oznaczonych pomyślany jest jako materiał pomocniczy dla uczniów szkół średnich i - mamy nadzieję - wypełnia w jakimś stopniu lukę, jaka powstała po zniknięciu rachunku całkowego ze szkół średnich; kładziemy zatem wagę na poglądowość, co odbywa się kosztem pewnej ścisłości i zarzucenia niektórych rygorów formalnych, charakterystycznych dla kursów uniwersyteckich. Mimo to mamy nadzieję, że poradnik niniejszy okaże się pomocny dla Czytelnika. Część poświęcona całkom oznaczonym i ich wybranym zastosowaniom w matematyce i fizyce napisana została według widzimisię autorów FAQ, które w (nieznacznym) stopniu oparte zostało na podręczniku J. Stewarta, "Calculus", Brooks and Cole, Toronto 2003.
Funkcją pierwotną funkcji f (x) w przedziale a < x < b nazywamy każdą taką funkcję F(x), której pochodna F'(x) równa jest danej funkcji f (x) dla każdego x z przedziału a < x < b. Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą, na przykład funkcjami, których pochodne równe są 2x, mogą być x2 + 3, x2 - 5 lub ogólnie x2 + C.
Całką nieoznaczoną funkcji f (x), oznaczaną sumbolem
f (x)dx,
f (x)dx = F(x) + C, gdzie
F'(x) = f (x).