Wyobraźmy sobie, że ktoś postanowił "poprawić" geometrię, zmieniając definicję trójkąta na "lepszą": trójkąt to taki wielokąt, który albo ma trzy boki albo ma cztery równe boki i cztery równe kąty. Ostatecznie każda nazwa jest kwestią umowy, prawda? Jak w tej "poprawionej" geometrii powinno brzmieć twierdzenie Pitagorasa? Przecież każdy "nowy trójkąt", trójkat o czterech bokach, jest trójkątem prostokatnym! Trójkąty wyróżnia się spośród innych wielokątów, bo takie wyróżnienie do czegoś służy. Podobnie wyróżnienie liczb pierwszych spośród liczb naturalnych do czegoś służy. Konkretnie, liczby pierwsze służą jako najmniejsze "cegiełki" multyplikatywnej (tzn. dotyczącej mnożenia) budowy liczb naturalnych. Definicja liczby pierwszej jest tak dobrana, że zachodzi Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki: Każda liczba naturalna jest iloczynem (potęg) liczb pierwszych i każde dwa takie przedstawienia jednej liczby naturalnej różnią się najwyżej kolejnością czynników. Liczby pierwsze używane są w matematyce od zarania dziejów - sporo miejsca poświęcił im Euklides (ok. 365 - ok. 300 pne) w swoich Elementach (m. in. udowodnił, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych). Nigdy i nigdzie nie uważano jedynki za liczbę pierwszą, bo "poprawiony" przez dołączenie jedynki zbiór liczb pierwszych nie nadaje się do tych celów, do których liczby pierwsze służą, podobnie jak "poprawiony" przez włączenie do niego kwadratów zbiór trójkątów nie nadaje się do tych celów, dla których wyróżnia się trójkąty. Ze wspólczesnego punktu widzenia teoria podzielności jest działem teorii pierścieni. Elementy pierścienia dzieli się na trzy klasy: elementy odwracalne (jednym z nich jest 1), dzielniki zera (jednym z nich jest 0), elementy regularne (wszystkie pozostałe). Podzielność jest nieciekawa dla elementów odwracalnych: każdy element pierścienia dzieli się przez element odwracalny i każdy dzielnik elementu odwracalnego jest elementem odwracalnym (z tego powodu nikt nie zajmuje się np. cechami podzielności w zbiorze liczb wymiernych). Podzielność dzielników zera to delikatna sprawa - np. iloraz, nawet jeśli istnieje, nie jest określony jednoznacznie. Dlatego teorię podzielności stosuje się tylko do elementów regularnych. Miedzy innymi elementy nierozkładalne i pierwsze wyróżnia się spośród elementów regularnych. Przykładem pierścienia jest zbiór liczb całkowitych z wyróżnionymi elementami 0 i 1 i działaniami dodawania i mnożenia. Ten pierścien ma dwa elementy odwracalne: 1 i -1 i jeden dzielnik zera: 0. Elementy nierozkładalne (w tym pierścieniu to to samo, co elementy pierwsze) to te elementy regularne (liczby całkowite większe od 1 i liczby całkowite mniejsze od -1) x, które mają własność: jesli x = ab, to jeden z czynników a, b jest elementem odwracalnym. Jeśli teraz ograniczyć się do liczb naturalnych, to liczby pierwsze są tymi elementami pierwszymi pierścienia liczb całkowitych, które są liczbami naturalnymi. Liczba 1 zostaje "za burtą". Inny przykład pierścienia to zbiór wielomianów zmiennej x o współczynnikach rzeczywistych. Podzielność wielomianów wchodzi do programu szkoły średniej z uwagi na zastosowania do rozwiązywania równań. W tym pierścieniu jedynym dzielnikiem zera jest wielomian 0, który ma stopień minus nieskończoność. Elementami odwracalnymi są wielomiany stopnia 0 (wielomiany stale różne od 0). Elementami regularnymi są wielomiany dodatniego stopnia. Podzielność wielomianów pod wieloma względami przypomina podzielność liczb całkowitych: jest dzielenie z resztą. Każdy element nierozkładalny jest pierwszy. Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze jest ważny np. dla obliczania calek z funkcji wymiernych. Zachodzi jednoznaczność rozkładu, tylko czynniki pierwsze w dwóch rozkładach tego samego wielomianu mogą różnić się nie tylko kolejnością, ale i czynnikiem stałym, np.